Question

6．若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n+a_n=2n，n∈N^*．
（1）證明：數(shù)列{a_n-2}為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{S_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1，當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1+a_n-1=2（n-1），與原式相減，2a_n=a_n-1+2，即2（a_n-2）=a_n-1-2，a₁-2=-1，數(shù)列{a_n-2}是以-1為首項(xiàng)，$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列；
（2）由（1）可知，a_n-2=-（$\frac{1}{2}$）^n-1，代入即可求得S_n=2n-a_n=2n-2+（$\frac{1}{2}$）^n-1，根據(jù)等比數(shù)列及等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，即可求得數(shù)列{S_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（1）證明：當(dāng)n=1時(shí)，S₁+a₁=2，即a₁=1，
∵S_n+a_n=2n①，
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1+a_n-1=2（n-1）②，
由①-②得，2a_n-a_n-1=2，
∴2a_n=a_n-1+2，
∴2（a_n-2）=a_n-1-2，
∵a₁-2=-1，
∴數(shù)列{a_n-2}是以-1為首項(xiàng)，$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列；
（2）解：由（1）得a_n-2=-（$\frac{1}{2}$）^n-1，
∴a_n=2-（$\frac{1}{2}$）^n-1，
∵S_n+a_n=2n，
∴S_n=2n-a_n=2n-2+（$\frac{1}{2}$）^n-1，
∴T_n=[0+（$\frac{1}{2}$）0]+[2+（$\frac{1}{2}$）1]+…+[2n-2+（$\frac{1}{2}$）^n-1]，
=[0+2+4+…+（2n-2）]+[1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+…+（$\frac{1}{2}$）^n-1]，
=$\frac{n（2n-2）}{2}$+$\frac{1-（{\frac{1}{2}）}^{n}}{1-\frac{1}{2}}$，
=n²-n-2-（$\frac{1}{2}$）^n-1．
∴數(shù)列{S_n}的前n項(xiàng)和T_n=n²-n-2-（$\frac{1}{2}$）^n-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式，考查等比數(shù)列和等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．