Question

（2008•青浦區(qū)一模）設(shè)函數(shù)f(x)=2cos2x+

3

sin2x+a(a為實(shí)常數(shù)）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最小值為-4，那么a的值為

-4

．

Answer 1

分析：利用求導(dǎo)法則，求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)值為0，求出x的值，再由區(qū)間的兩端點(diǎn)0和

π

2

，表示出函數(shù)的最小值，根據(jù)函數(shù)的最小值為-4，即可得到a的值．

解答：解：求導(dǎo)得：f′（x）=-4sinxcosx+2

3

cos2x
=-2sin2x+2

3

cos2x
=4sin（

π

3

-2x），
令f′（x）=0，得到x=

π

6

，
∵f（0）=2+a，f（

π

2

）=a，f（

π

6

）=3+a，
∴函數(shù)的最小值為a，又函數(shù)區(qū)間[0，

π

2

]上的最小值為-4，
則a=-4．
故答案為：-4

點(diǎn)評(píng)：此題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究閉區(qū)間上函數(shù)的最值，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，要求學(xué)生熟練掌握求導(dǎo)法則，以及三角函數(shù)的恒等變換公式，綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題．