已知函數(shù)f(x)=x2,對任意實數(shù)t,gt(x)=-tx+1.
(1)求函數(shù)y=g3(x)-f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)數(shù)學(xué)公式在(0,2]上是單調(diào)遞減的,求實數(shù)t的取值范圍;
(3)若f(x)<mg2(x)對任意數(shù)學(xué)公式恒成立,求正數(shù)m的取值范圍.

解:(1)y=g3(x)-f(x)=…(1分)
所以函數(shù)y的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是.…(3分)
(2)由已知得,,…(4分)
設(shè)0<x1<x2≤2,
=…(6分)
要使h(x)在(0,2]上是單調(diào)遞減的,必須h(x1)-h(x2)>0恒成立. …(7分)
因為x2-x1>0,0<x1x2<4,
所以1-tx1x2>0恒成立,即恒成立,…(8分)[
因為,所以,
所以實數(shù)t的取值范圍是.…(9分)
(3)解法一:由f(x)<mg2(x),得x2<m(-2x+1),①…(10分)
因為m>0且,所以①式可化為,②…(11分)
要使②式對任意恒成立,只需(12分)
因為,所以當(dāng)時,函數(shù)取得最小值3,…(12分)
所以,又m>0,所以
故正數(shù)m的取值范圍是.…(13分)
解法二:由f(x)<mg2(x),得x2+2mx-m<0,…(10分)
令f(x)=x2+2mx-m,則f(x)<0對任意恒成立,…(11分)
只需,即,解得,…(12分)
故正數(shù)m的取值范圍是. …(13分)
分析:(1)利用配方法求函數(shù)y=g3(x)-f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)由已知得,,利用單調(diào)性的定義,可知要使h(x)在(0,2]上是單調(diào)遞減的,必須h(x1)-h(x2)>0恒成立,從而只需1-tx1x2>0恒成立,即恒成立,故可求實數(shù)t的取值范圍;(3)解法一:由f(x)<mg2(x),得x2<m(-2x+1),分離參數(shù)可得,從而問題轉(zhuǎn)化為,,利用配方法可求函數(shù)的最小值3,故可求正數(shù)m的取值范圍;
解法二:由f(x)<mg2(x),得x2+2mx-m<0.構(gòu)造f(x)=x2+2mx-m,則f(x)<0對任意恒成立,只需,即,從而可求正數(shù)m的取值范圍.
點評:本題考查的重點是求參數(shù)的范圍問題,考查恒成立問題,考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,解題的關(guān)鍵是利用分離參數(shù)法,進(jìn)而求函數(shù)的最值.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( 。
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:深圳一模 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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