Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2= ，且直線l經(jīng)過曲線C的左焦點(diǎn)F． （ I ）求直線l的普通方程；
（Ⅱ）設(shè)曲線C的內(nèi)接矩形的周長為L，求L的最大值．

Answer 1

【答案】解：（I）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2= ，即ρ2+ρ2sin2θ=4，

可得直角坐標(biāo)方程：x2+2y2=4，化為： + =1．

∴c= = ，可得作焦點(diǎn)F ．

直線l的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得：x﹣y=m，

把 代入可得：m=﹣ ．

∴直線l的普通方程為：x﹣y+ =0．

（II）設(shè)橢圓C的內(nèi)接矩形在第一象限的頂點(diǎn)為 ．

∴橢圓C的內(nèi)接矩形的周長為L=8cosθ+4 sinθ=4 sin（θ+φ）≤4 （其中tanφ= ）．

∴橢圓C的內(nèi)接矩形的周長的最大值為4 ．

【解析】（I）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2= ，即ρ2+ρ2sin2θ=4，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程，可得作焦點(diǎn)F ．直線l的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得：x﹣y=m，把F代入可得：m．（II）設(shè)橢圓C的內(nèi)接矩形在第一象限的頂點(diǎn)為 ．可得橢圓C的內(nèi)接矩形的周長為L=8cosθ+4 sinθ=4 sin（θ+φ）（其中tanφ= ）．即可得出橢圓C的內(nèi)接矩形的周長的最大值．