Question

8個人手里分別有一張卡，他們彼此送卡，要求每個人都有一張卡而且自己不能拿到自己的卡，問有多少種可能？

Answer 1

考點：計數原理的應用

專題：計算題,排列組合

分析：可考慮更一般的情況，即設共有n個人，可能的方法為a_n，n個人各有1張卡，他們彼此送卡，要求每個人都有一張卡而且自己不能拿到自己的卡，給這n張卡編號，第一步安排1號卡，共有n-1種方法，此時不妨把1號卡給了i號（i≠1），再安排i號卡有兩種情況：①i號放在1號位置；②i號卡不安排在1號位置．由兩個計數原理，即可得到a_n=（n-1）（a_n-1+a_n-2）（n＞3），再由n=2，3，4，…，8，即可得到答案．

解答： 解：設共有n個人，可能的方法為a_n，給這n張卡編號，第一步安排1號卡，共有n-1種方法，
此時不妨把1號卡給了i號（i≠1），再安排i號卡有兩種情況：①i號放在1號位置，此時剩余n-2張卡要分給n-2個人，要求依然是號碼均不相同，故有a_n-2種可能；②i號卡不安排在1號位置，要給n-1個人，要求依然是號碼均不相同，故有方法數為a_n-1．
所以a_n=（n-1）（a_n-1+a_n-2）．
當n=2時，a₂=1，當n=3時，a₃=2，當n=4時，a₄=3（a₂+a₃）=9，
當n=5時，a₅=4（a₄+a₃）=44，當n=6時，a₆=5（a₅+a₄）=265，
當n=7時，a₇=6（a₆+a₅）=1854，
當n=8時，a₈=7（a₇+a₆）=14833．

點評：本題考查排列組合的應用題，考查兩個計數原理的運用：注意分類相加，分步相乘，是一道難題．