Question

已知函數(shù)f（x）=（x²+bx+c）e^x在點(diǎn)P（0，f（0））處的切線方程為2x+y-1=0．
（1）求b，c的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）求函數(shù)y=f（x）（x∈R）的值域．

Answer 1

分析：（1）欲求b，c的值，根據(jù)所給的切線方程，只須求出切線斜率即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=-0處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率進(jìn)而得切線方程，最后與所給的方程比較即得b，c的值．
（2）先確定（1）求得的函數(shù)的定義域然后求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；
（3）欲求函數(shù)y=f（x）（x∈R）的值域，先研究函數(shù)在區(qū)間上的最值問題，可先求出函數(shù)的極值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，最后確定出最大值與最小值即可．

解答：解：（1）f′（x）=[x²+（b+2）x+b+c]•e^x
∵f（x）在點(diǎn)P（0，f（0））處的切線方程為2x+y-1=0．
∴

f′(0)=-2 f(0)=1

?

b+c=-2 c=1

?

b=-3 c=1

（2）由（1）知：f（x）=（x²-3x+1）•e^x，
f′（x）=（x²-x-2）•e^x=（x-2）（x+1）•e^x

∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是：（-∞，-1）和（2，+∞），f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是：（-1，2）．
（3）由（2）知：當(dāng)x=-1時(shí)，f（x）取極大值f(-1)=

5

e

當(dāng)x=2時(shí)，f（x）取極小值f（2）=-e²
且當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→+∞；又當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞0，
所以f（x）的值域?yàn)閇-e²，+∞）．（13）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、函數(shù)的值域等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力．屬于基礎(chǔ)題．