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10.已知函數(shù)f(x)=|x-a|-3x+a-2有且僅有三個(gè)零點(diǎn),且它們成等差數(shù)列,則實(shí)數(shù)a的取值集合為{5+3338,-95 }.

分析 令g(x)=0,化簡函數(shù)g(x)={2ax3xxax3xxa,從而不妨設(shè)f(x)=0的3個(gè)根為x1,x2,x3,且x1<x2<x3,討論當(dāng)x>a時(shí),求得兩根,x≤a時(shí),再分①a≤-1,②-1<a≤3,③a>3,運(yùn)用等差數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì),進(jìn)而確定a的值.

解答 解:函數(shù)f(x)=|x-a|-3x+a-2有且僅有三個(gè)零點(diǎn),設(shè)f(x)=0,可得|x-a|-3x+a=2,
設(shè)g(x)=|x-a|-3x+a,h(x)=2,則函數(shù)g(x)={2ax3xxax3xxa
不妨設(shè)f(x)=0的3個(gè)根為x1,x2,x3,且x1<x2<x3,
當(dāng)x>a時(shí),由f(x)=0,解得x=-1,或x=3;
若 ①a≤-1,此時(shí) x2=-1,x3=3,由等差數(shù)列的性質(zhì)可得x1=-5,
由f(-5)=2a+5+35-2=0,解得a=-95,滿足f(x)=0在(-∞,a]上有一解.
若②-1<a≤3,則f(x)=0在(-∞,a]上有兩個(gè)不同的解,不妨設(shè)x1,x2,其中x3=3,
所以有x1,x2是2a-x-3x=2的兩個(gè)解,即x1,x2是x2-(2a-2)x+3=0的兩個(gè)解.
得到x1+x2=2a-2,x1x2=3,
又由設(shè)f(x)=0的3個(gè)根為x1,x2,x3成差數(shù)列,且x1<x2<x3,得到2x2=x1+3,
解得:a=5+333853338(舍去).
③a>3,f(x)=0最多只有兩個(gè)解,不滿足題意;
綜上所述,a=5+3338或-95,
故答案為:{5+3338,-95 }.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用及分類討論的思想應(yīng)用,同時(shí)考查了等差數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì),屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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③從中不放回的取球2次,每次任取1球,則在第一次取到紅球后,第二次再次取到紅球的概率為25;
④從中有放回的取球3次,每次任取一球,則至少有一次取到紅球的概率為2627
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