Question

20．已知數(shù)列{a_n}是公差為d（d≠0）的等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}是公比為q（q∈R，且q≠0，1）的等比數(shù)列．若函數(shù)f（x）=x²，且a₁=f（d-1），a₅=f（2d-1），b₁=f（q-2），b₃=f（q）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為S_n，對(duì)?n∈N₊，$\frac{{c}_{1}}{_{1}}$+$\frac{{c}_{2}}{2_{2}}$+…+$\frac{{c}_{n}}{n_{n}}$=a_n+1均成立，求S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得d=2，q=3，進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）由條件求得n=1時(shí)，c₁=3，當(dāng)n＞1時(shí)，c_n=2n•3^n-1，再由數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡(jiǎn)整理，即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）a₁=f（d-1）=（d-1）²，a₅=f（2d-1）=（2d-1）²，
即有a₅-a₁=4d=（2d-1）²-（d-1）²=3d²-2d，
解得d=2（0舍去），
可得a_n=1+2（n-1）=2n-1；
由b₁=f（q-2）=（q-2）²，b₃=f（q）=q²，
即有q²=$\frac{_{3}}{_{1}}$=$\frac{{q}^{2}}{（q-2）^{2}}$，
解得q=3（0和1舍去），
即有b_n=3^n-1；
（Ⅱ）由?n∈N₊，$\frac{{c}_{1}}{_{1}}$+$\frac{{c}_{2}}{2_{2}}$+…+$\frac{{c}_{n}}{n_{n}}$=a_n+1均成立，
可得n=1時(shí)，c₁=a₂=3，
n＞1時(shí)，$\frac{{c}_{1}}{_{1}}$+$\frac{{c}_{2}}{2_{2}}$+…+$\frac{{c}_{n}}{n_{n}}$=a_n+1，
即有$\frac{{c}_{1}}{_{1}}$+$\frac{{c}_{2}}{2_{2}}$+…+$\frac{{c}_{n-1}}{（n-1）_{n-1}}$=a_n，
兩式相減可得$\frac{{c}_{n}}{n_{n}}$=2，即有c_n=2n•3^n-1（n＞1），
則前n項(xiàng)和為S_n=3+4•3+6•3²+…+2n•3^n-1，
3S_n=9+4•3²+6•3³+…+2n•3ⁿ，
兩式相減可得，-2S_n=6+2（3²+3³+…+3^n-1）-2n•3ⁿ=6+2•$\frac{9（1-{3}^{n-2}）}{1-3}$-2n•3ⁿ，
化簡(jiǎn)可得S_n=$\frac{3+（2n-1）•{3}^{n}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．