Question

已知函數(shù)y=lgx•lg（ax）（

1

10

≤x≤10）的最小值為2，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用換元法，根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次函數(shù)，利用一元二次函數(shù)對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系，即可得到結(jié)論．

解答： 解：y=lgx•lg（ax）=y=lgx•（lgx+lga）=lg²x+lga•lgx，
設(shè)t=lgx，則函數(shù)等價(jià)為y=g（t）=t²+lga•t，
∵

1

10

≤x≤10，
∴-1≤lgx≤1，即-1≤t≤1，
函數(shù)的對(duì)稱軸為x=-

lga

2

，
若-

lga

2

≤-1，即lga≥2時(shí)，最小值為g（-1）=1-lga=2，
∴l(xiāng)ga=-1，此時(shí)不成立．
若-

lga

2

≥-1，即lga≤2時(shí)，最小值為g（1）=1+lga=2，
解得lga=1，此時(shí)a=10．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)的基本運(yùn)算以及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用換元法是解決本題的關(guān)鍵．