已知函數(shù)f(x)=
x
x2+1

(1)求出函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)x∈(-
3
4
,+∞)
時(shí),證明函數(shù)y=f(x)圖象在點(diǎn)(
1
3
,
3
10
)
處切線的下方;
(3)利用(2)的結(jié)論證明下列不等式:“已知a,b,c∈(-
3
4
,+∞)
,且a+b+c=1,證明:
a
a2+1
+
b
b2+1
+
c
c2+1
9
10
”;
(4)已知a1,a2,…,an是正數(shù),且a1+a2+…+an=1,借助(3)的證明猜想
n
k=1
ak
a
2
k
+1
的最大值.(只指出正確結(jié)論,不要求證明)
分析:(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,常用導(dǎo)數(shù)法,可以先對函數(shù)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)大于0解出函數(shù)增區(qū)間,用導(dǎo)數(shù)小于0解出函數(shù)的減區(qū)間;
(2)先求出點(diǎn)(
1
3
,
3
10
)
處切線的方程,再通過比較-
3
4
<x<+∞時(shí)兩函數(shù)函數(shù)值的大小證明;
(3)由(2)
x
x2+1
36x+3
50
,得
a
a2+1
36a+3
50
,
b
b2+1
36b+3
50
,
c
c2+1
36c+3
50
,將三式相加即可證得不等式.
(4)由(3)的證明結(jié)論總結(jié)規(guī)律,寫出符合規(guī)律的猜想:
n
k=1
ak
a
2
k
+1
的最大值是
n2
n2+1
解答:解:(1)f(x)=
x
x2+1
的定義域是(-∞,+∞),因?yàn)閒'(x)=
1-x2
(x2+1)2
,所以f(x)在(-∞,-1]上單調(diào)遞減,在[-1,1]上單調(diào)遞增,在[1,+∞)上單調(diào)遞減.…(4分)
(2)y=f(x)的圖象在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線方程為y-
x0
1+
x
0
2
=
1-
x
2
0
(1+
x
2
0
)
2
(x-x0)

當(dāng)x0=
1
3
時(shí),函數(shù)在點(diǎn)(
1
3
,
3
10
)處的切線方程是y-
3
10
=
18
25
(x-
1
3
),即y=
36x+3
50
 …(7分)
要證當(dāng)-
3
4
<x<+∞時(shí),證明函數(shù)圖象在點(diǎn)(
1
3
,
3
10
)處切線的下方,只需證明
x
x2+1
36x+3
50
,成立. 這等價(jià)于證明(3x-1)2(4 x+3)≥0,這是顯然的.…(10分)
(3)由(2)
x
x2+1
36x+3
50
,知
a
a2+1
36a+3
50
,
b
b2+1
36b+3
50
,
c
c2+1
36c+3
50

將三個(gè)不等式相加得
a
a2+1
+
b
b2+1
+
c
c2+1
9
10
.…(13分)
(4)由(3):“已知a,b,c∈(-
3
4
,+∞)
,且a+b+c=1,必有
a
a2+1
+
b
b2+1
+
c
c2+1
9
10
”;不等式左邊是三個(gè)式子的和,分母都是分子的平方加1,不等式右邊是個(gè)分?jǐn)?shù),分子是3的平方,而分母是3的平方加1,3正好對應(yīng)a,b,c數(shù)個(gè)個(gè)數(shù)3,
又a1,a2,…,an是正數(shù),且a1+a2+…+an=1,故可猜想
n
k=1
ak
a
2
k
+1
的最大值是
n2
n2+1
.…(16分)
點(diǎn)評:本題考查不等式的證明,恒等式的證明,函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法,本題綜合性強(qiáng)運(yùn)算量大,且證明方法新穎,考查判斷推理的能力,解題的關(guān)鍵是能根據(jù)題設(shè)中的條件與要證的結(jié)論分析出恰當(dāng)?shù)淖C明方法.
練習(xí)冊系列答案
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已知函數(shù)f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)為偶函數(shù),且f(3)<f(5).
(1)求m的值,并確定f(x)的解析式;
(2)若g(x)=loga[f(x)-ax](a>0且a≠1),是否存在實(shí)數(shù)a,使g(x)在區(qū)間[2,3]上的最大值為2,若存在,請求出a的值,若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:浙江省東陽中學(xué)高三10月階段性考試數(shù)學(xué)理科試題 題型:022

已知函數(shù)f(x)的圖像在[a,b]上連續(xù)不斷,f1(x)=min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),f2(x)=max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),其中,min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值,max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值,若存在最小正整數(shù)k,使得f2(x)-f1(x)≤k(x-a)對任意的x∈[a,b]成立,則稱函數(shù)f(x)為[a,b]上的“k階收縮函數(shù)”.已知函數(shù)f(x)=x2,x∈[-1,4]為[-1,4]上的“k階收縮函數(shù)”,則k的值是_________.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2009-2010學(xué)年河南省許昌市長葛三高高三第七次考試數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:選擇題

已知函數(shù)f(x)、g(x),下列說法正確的是( )
A.f(x)是奇函數(shù),g(x)是奇函數(shù),則f(x)+g(x)是奇函數(shù)
B.f(x)是偶函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)是偶函數(shù)
C.f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)一定是奇函數(shù)或偶函數(shù)
D.f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)可以是奇函數(shù)或偶函數(shù)

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