Question

若直線2ax-by+6=0（a，b＞0）始終平分圓x²+y²+2x-4y+1=0的周長(zhǎng)，則

1

a

+

4

b

的最小值是（　�。�

• A．

  10

  3

• B．9
• C．

  8

  3

• D．3

Answer 1

分析：先根據(jù)直線始終平分圓的周長(zhǎng)，可推斷出直線過(guò)圓的圓心，利用圓的方程求得圓心坐標(biāo)代入直線方程求得a和b的關(guān)系，然后把

1

a

+

4

b

整理成

1

3

（a+b）（

1

a

+

4

b

）的形式，展開(kāi)后利用基本不等式求得答案．

解答：解：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：（x+1）²+（y-2）²=4，
∴圓心坐標(biāo)為（-1，2），半徑r=2，
由題意可得：直線2ax-by+6=0過(guò)圓心，
∴-2a-2b+6=0，即

1

3

（a+b）=1，即a+b=3
∵a＞0，b＞0，
∴

1

a

+

4

b

=

1

3

（

1

a

+

4

b

）•（a+b）
=

1

3

（1+

b

a

+

4a

b

+4）≥

1

3

（5+2

b a • 4a b

）=

1

3

（5+4）=3，
當(dāng)且僅當(dāng)

b

a

=

4a

b

，即b=2a時(shí)取等號(hào)，
則

1

a

+

4

b

的最小值是3．
故選D

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及基本不等式的運(yùn)用，其中根據(jù)題意得出直線過(guò)圓心，進(jìn)而得到a與b的關(guān)系式是解本題的關(guān)鍵．