已知z為虛數(shù),且|2z+15|=
3
|z+10|

(1)求|z|;(2)設(shè)u=(3-i)z,若u在復(fù)平面上的對應(yīng)點在第二、四象限的角平分線上,求復(fù)數(shù)z;(3)若z2+2
.
z
為實數(shù),且z恰好為實系數(shù)方程x2+px+q=0的兩根,試寫出此方程.
分析:(1)設(shè)z=m+ni,且 m、n∈R,n≠0,由題意可得|2m+15+2yi|=
3
|x+10+yi|,化簡可得m2+n2=75,
從而得到|z|的值.
(2)由題意可得 u=(3m+n)+(3n-m)i,3m+n+3n-m=0,故
m=-2n
m2+n2=75
,解得m 和n的值,即得復(fù)數(shù)z.
(3)由 z2 +2
.
z
=m2-n2+2m+2n(m-1)i 為實數(shù),得2n(m-1)=0,m=1.再由m2+n2=75,求出
 n的值,可得z的值,由根與系數(shù)的關(guān)系求得p和q的值,即可寫出方程.
解答:解:(1)設(shè)z=m+ni,且 m、n∈R,n≠0,則有|2m+15+2yi|=
3
|x+10+yi|,
∴(2m+15)2+4n2=3(m+10)2+3n2,化簡可得 m2+n2=75.
∴|z|=
75
=5
3

(2)∵u=(3-i)z,若u在復(fù)平面上的對應(yīng)點在第二、四象限的角平分線上,
∴u=(3m+n)+(3n-m)i,3m+n+3n-m=0,∴
m=-2n
m2+n2=75

m=2
15
n =-
15
  或
m=-2
15
n =
15
.∴z=2
15
-
15
i,z=-2
15
+
15
i.
(3)∵z2 +2
.
z
=m2-n2+2m+2n(m-1)i 為實數(shù),∴2n(m-1)=0,由n≠0可得 m=1.
又m2+n2=75,∴n=±
74

∴z=1+
74
i,或  z=1-
74
i.
由 z恰好為實系數(shù)方程x2+px+q=0的兩根,利用根與系數(shù)的關(guān)系可得-p=1+
74
i+1-
74
i=2,
q=(1+
74
i )(1-
74
i )=75,故要求的方程為:x2-2x+75=0.
點評:本題主要考查一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系,復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,求出m 和n的值,是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知z為虛數(shù),且|z|=
5
,z2+2
.
z
為實數(shù),若w=z+ai(i為虛數(shù)單位,a∈R)且z虛部為正數(shù),0≤a≤1,求|w|的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知z為虛數(shù),且|z|=
5
,若z2-2
.
z
為實數(shù).
(1)求復(fù)數(shù)z;
(2)若z的虛部為正數(shù),且ω=z+4sinθ•i(i為虛數(shù)單位,θ∈R),求ω的模的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

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3
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