已知向量
a
=(cos
3
2
x，sin
3
2
x)，
b
=(cos
x
2
-sin
x
2
)，x∈[0，
π
2
]
（1）用x的式子表示； 
a
.
b
及|
a
+
b
|；
（2）求函數(shù)f(x)=
a
.
b
-4|
a
+
b
|的值域；
（3）設(shè)g(x)=
a
.
b
+t|
a
+
b
|，若關(guān)于x的方程g（x）+2=0有兩不同解，求t的取值范圍？．
分析：（1）由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示及兩角和的余弦公式可求
a
•
b
；根據(jù)平面向量的數(shù)量積 的性質(zhì)可知，要求|
a
+
b
|
，只要先求|
a
+
b
|2，根據(jù)向量的運(yùn)算可求
（2）由f(x)=
a
•
b
-4|
a
+
b
|=cos2x-8cosx=2cos2x-8cosx-1=2（cosx-2）2-9結(jié)合x∈[0，
π
2
] 可得cosx∈[0，1]從而可求f（x）
（3）g（x）+2=0?cos2x+2tcosx+2=0?2cos2x+2tcosx+1=0有兩不同解，
令cosx=μ∈[0，1），F(xiàn)（μ）=2μ2+2tμ+1在[0，1）上有兩不同解
結(jié)合方程的實(shí)根分布可得
△=4t2-8＞0
0＜-
2t
4
＜1
F(0)≥0
F(!)≥0
解不等式可得
解答：解：（1）
a
•
b
=cos
3x
2
cos
x
2
-sin
3x
2
sin
x
2
=cos2x
∵|
a
+
b
|2=1+2cos2x+1=2（1+cos2x）=4cos2x
∴|
a
+
b
|=2cosx  x∈[0，
π
2
]
（2）∵f(x)=
a
•
b
-4|
a
+
b
|=cos2x-8cosx=2cos2x-8cosx-1=2（cosx-2）2-9
∵x∈[0，
π
2
]∴cosx∈[0，1]∴f（x）∈[-7，-1]
（3）∵g（x）+2=0
∴cos2x+2tcosx+2=0
即2cos2x+2tcosx+1=0
令cosx=μ∈[0，1），F(xiàn)（μ）=2μ2+2tμ+1
∴
△=4t2-8＞0
0＜-
2t
4
＜1
F(0)≥0
F(!)≥0

∴t∈[-
3
2
，-
2
)
點(diǎn)評：平面向量與三角函數(shù)結(jié)合的試題一般是利用平面向量為工具，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的 形式，利用三角的知識求解函數(shù)的最值（或值域），而以三角形式出現(xiàn)的二次函數(shù)要在求最值時(shí)要注意范圍的限制條件
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(-cosα，1+sinα)，
b
=(2sin2
α
2
，sinα)．
（Ⅰ）若|
a
+
b
|=
3
，求sin2α的值；
（Ⅱ）設(shè)
c
=(cosα，2)，求(
a
+
c
)•
b
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(cosωx-sinωx，sinωx)，
b
=(-cosωx-sinωx，2
3
cosωx)，其中ω＞0，且函數(shù)f(x)=
a
•
b
+λ（λ為常數(shù)）的最小正周期為π．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的圖象的對稱軸；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)(
π
4
，0)，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，
5π
12
]上的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(cos
θ
2
，sin
θ
2
)，
b
=(2，1)，且
a
⊥
b
．
（1）求tanθ的值；
（2 ）求
cos2θ
2
cos(
π
4
+θ)•sinθ
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
)，  sin(ωx-
π
4
))，  
b
=(sin(
2
3
π-ωx)， sin(ωx+
π
4
))（其中ω＞0）．若函數(shù)f(x)=2
a
•
b
-1的圖象相鄰對稱軸間距離為
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-
π
12
，  
π
2
]上的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(cosθ，sinθ)，
b=
(cos2θ-1，sin2θ)，
c
=(cos2θ，sin2θ-
3
)．其中θ≠kπ，k∈Z．
（1）求證：
a
⊥
b
；
（2）設(shè)f(θ)=
a
•
c
，且θ∈(0，π)，求f(θ)的值域．

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