【題目】(題文)已知函數(shù).
(Ⅰ)若在區(qū)間上單調(diào)遞增,求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)若存在唯一整數(shù),使得成立,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ).
【解析】
試題分析:(1)本問考查利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則在上恒成立,即在上恒成立,采用參變分離的方法,將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立,設(shè)函數(shù),于是只需滿足即可,問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值;(2)存在唯一整數(shù),使得,即,于是問題轉(zhuǎn)化為存在唯一一個整數(shù) 使得函數(shù)圖像在直線下方,于是可以畫出兩個函數(shù)圖像,結(jié)合圖像進行分析,確定函數(shù)在時圖像之間的關(guān)系,通過比較斜率大小來確定的取值范圍.
試題解析:(1)函數(shù)的定義域為,,
要使在區(qū)間上單調(diào)遞增,只需,即
在上恒成立即可,
易知在上單調(diào)遞增,所以只需即可,
易知當時,取最小值,,
∴實數(shù)的取值范圍是.
(2)不等式即,
令,
則,在上單調(diào)遞增,
而,
∴存在實數(shù),使得,
當時,,在上單調(diào)遞減;
當時,,在上單調(diào)遞增,∴.
,畫出函數(shù)和的大致圖象如下,
的圖象是過定點的直線,
由圖可知若存在唯一整數(shù),使得成立,則需,
而,∴.
∵,∴.
于是實數(shù)的取值范圍是.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若, 都是從0,1,2,3,4五個數(shù)中任取的一個數(shù),求上述函數(shù)有零點的概率;
(2)若, 都是從區(qū)間上任取的一個數(shù),求成立的概率.
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【題目】如圖,在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面四邊形ABCD為菱形,A1A=AB=2,∠ABC= ,E,F(xiàn)分別是BC,A1C的中點.
(1)求異面直線EF,AD所成角的余弦值;
(2)點M在線段A1D上, =λ.若CM∥平面AEF,求實數(shù)λ的值.
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【題目】(本題14分)下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗(噸)標準煤的幾組對照數(shù)據(jù):
3 | 4 | 5 | 6 | |
2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
(1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖;并指出x,y 是否線性相關(guān);
(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程;
(3)已知該廠技術(shù)改造前100噸甲產(chǎn)品能耗為90噸標準煤,試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程,預測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技術(shù)改造前降低多少噸標準煤?
(參考:用最小二乘法求線性回歸方程系數(shù)公式,)
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【題目】某市電視臺為了宣傳舉辦問答活動,隨機對該市15~65歲的人群抽樣了人,回答問題計結(jié)果如下圖表所示:
(1)分別求出的值;
(2)從第2,3,4組回答正確的人中用分層抽樣的方法抽取6人,則第2,3,4組每組各抽取多少人?
(3)在(2)的前提下,電視臺決定在所抽取的6人中隨機抽取2人頒發(fā)幸運獎,求所抽取的人中第2組至少有1人獲得幸運獎的概率.
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【題目】已知圓經(jīng)過點,和直線相切,且圓心在直線上.
(1)求圓的方程;
(2)已知直線經(jīng)過原點,并且被圓截得的弦長為2,求直線的方程.
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,圓C的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù)),以O(shè)為極點,x軸的非負半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系.
(1)求圓C的極坐標方程;
(2)若直線l的極坐標方程是 ,射線 與圓C的交點為O、P,與直線l的交點為Q.求線段PQ的長.
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