Question

已知函數(shù)f（x）=sinωx，g（x）=sin（2x+

π

2

），有下列命題：
①當(dāng)ω=2時(shí)，函數(shù)y=f（x）g（x）是最小正周期為

π

2

的偶函數(shù)；
②當(dāng)ω=1時(shí)，f（x）+g（x）的最大值為

9

8

；
③當(dāng)ω=2時(shí)，將函數(shù)f（x）的圖象向左平移

π

2

可以得到函數(shù)g（x）的圖象．
其中正確命題的序號(hào)是

 

（把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)都填上）．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：利用三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律以及圖象性質(zhì)判斷所給的各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論．

解答： 解：∵①當(dāng)ω=2時(shí)，函數(shù)y=f（x）g（x）=sin2x•sin（2x+

π

2

）=sin2x•cos2x=

1

2

sin4x，
故函數(shù)的周期T=

2π

4

=

π

2

，且為奇函數(shù)，故①不正確．
②當(dāng)ω=1時(shí)，f（x）+g（x）=sinx+sin（2x+

π

2

）=sinx+cos2x=sinx+1-2sin²x=-2(sinx-

1

4

)2+

9

8

，
故當(dāng)sinx=

1

4

時(shí)，函數(shù)取得最大值為

9

8

，故②正確．
③當(dāng)ω=2時(shí)，將函數(shù)f（x）的圖象向左平移

π

2

可以得到函數(shù)y=sin2（x+

π

2

）=-sin2x的圖象，
不能得到函數(shù)g（x）的圖象，故③不正確，
故答案為：②．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，利用了y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．