Question

為了保護(hù)環(huán)境，某化工廠在政府部門的支持下，進(jìn)行技術(shù)改造：每天把工業(yè)廢氣轉(zhuǎn)化為某種化工產(chǎn)品和符合排放要求的氣體，經(jīng)測(cè)算，該工廠每天處理廢氣的成本y（元）與處理廢氣量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為：y=

1 16 x3+1000， x∈[10，40) 2x2-130x+5000， x∈[40，70]

，且每處理1噸工業(yè)廢氣可得價(jià)值為50元的某種化工產(chǎn)品．
（1）當(dāng)工廠日處理廢氣量x∈[40，70]時(shí)，判斷該技術(shù)改進(jìn)能否獲利？如果能獲利，求出最大利潤(rùn)；如果不能獲利，為了保證工廠在生產(chǎn)中沒有虧損現(xiàn)象出現(xiàn)，國(guó)家至少每天財(cái)政補(bǔ)貼多少元？
（2）若國(guó)家給予企業(yè)處理廢氣階梯式財(cái)政補(bǔ)貼，當(dāng)日廢氣處理量不足40噸時(shí)，給予每頓80元補(bǔ)貼，廢氣處理量不少于40噸時(shí)，超過40噸的部分再增加每頓55元的補(bǔ)貼，當(dāng)工廠的日處理量為多少噸時(shí)，工廠處理每頓廢氣的平均收益最大？

Answer 1

分析：（1）利用每處理1噸工業(yè)廢氣可得價(jià)值為50元的某種化工產(chǎn)品，及函數(shù)關(guān)系式，可得利潤(rùn)函數(shù)，利用配方法，即可求得結(jié)論；
（2）求出工廠處理每頓廢氣的平均收益的函數(shù)表達(dá)式，再分段求出函數(shù)的最值，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）當(dāng)x∈[40，70]時(shí)，設(shè)該工廠獲利為S，則S=50x-（2x²-130x+5000）=-2（x-45）²-950
∴x∈[40，70]時(shí)，S_max=-950＜0，因此，該工廠不會(huì)獲利
當(dāng)x=70時(shí)，S_min=-2200，
∴國(guó)家至少每天財(cái)政補(bǔ)貼2200元，保證工廠在生產(chǎn)中沒有虧損現(xiàn)象出現(xiàn)；
（2）由題意，工廠處理每頓廢氣的平均收益為P（x）=

130- 1 16 x2- 1000 x ， x∈[10，40) 315-2x- 7200 x ， x∈[40，70]

①當(dāng)x∈[10，40]時(shí)，P（x）=130-

1

16

x2-

1000

x

，∴P′（x）=-

(x3-8000)

8x2

∵x∈[10，40]，∴10≤x＜20時(shí)，P′（x）＞0，函數(shù)為增函數(shù)，20＜x＜40時(shí)，P′（x）＜0，函數(shù)為減函數(shù)
∴x=20時(shí)，P（x）取得最大值，最大值為P（20）=55；
②當(dāng)x∈[40，70]時(shí)，P（x）=315-2x-

7200

x

，∵2x+

7200

x

≥240，當(dāng)且僅當(dāng)x=60時(shí)，2x+

7200

x

取得最小值為240
∴x=60時(shí)，P（x）取得最大值，最大值為P（60）=75
綜上，x=60時(shí)，當(dāng)工廠的日處理量為60噸時(shí)，工廠處理每頓廢氣的平均收益最大．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查函數(shù)的最值，考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，屬于中檔題．