Question

16．斜率為1的直線(xiàn)與橢圓x²+4y²=4交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最大值為$\frac{4\sqrt{10}}{5}$．

Answer 1

分析 設(shè)斜率為1的直線(xiàn)為y=x+t，代入橢圓方程x²+4y²=4，運(yùn)用判別式大于0和韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式，化簡(jiǎn)整理，由二次函數(shù)的最值的求法，即可得到最大值．

解答 解：設(shè)斜率為1的直線(xiàn)為y=x+t，代入橢圓方程x²+4y²=4，可得
5x²+8tx+4t²-4=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得判別式為64t²-80（t²-1）＞0，
解得-$\sqrt{5}$＜t＜$\sqrt{5}$，
x₁+x₂=-$\frac{8t}{5}$，x₁x₂=$\frac{4{t}^{2}-4}{5}$，
弦長(zhǎng)|AB|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{2}$•$\sqrt{\frac{64{t}^{2}}{25}-\frac{16（{t}^{2}-1）}{5}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{5}$•$\sqrt{5-{t}^{2}}$≤$\frac{4\sqrt{10}}{5}$．
當(dāng)t=0時(shí)，|AB|取得最大值$\frac{4\sqrt{10}}{5}$．
故答案為：$\frac{4\sqrt{10}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用判別式大于0和韋達(dá)定理，以及弦長(zhǎng)公式，考查二次函數(shù)的最值的求法，屬于中檔題．