Question

已知函數(shù)y=f（x）對任意x，y∈R均有f（x）+f（y）=f（x+y），且當(dāng)x＞0時，f（x）＜0，f（1）=-

2

3

．
（1）判斷并證明f（x）在R上的單調(diào)性；
（2）求f（x）在[-3，3]上的最值．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)的值域,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）直接利用函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行判定，設(shè)在R上任意x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，判定f（x₂）-f（x₁）的符號即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)單調(diào)性可得函數(shù)f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值．

解答： 解 （1）f（x）在R上是單調(diào)遞減函數(shù)
證明如下：
令x=y=0，f（0）=0，令x=-y可得：f（-x）=-f（x），在R上任取x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）．
又∵x＞0時，f（x）＜0，
∴f（x₂-x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁）．由定義可知f（x）在R上為單調(diào)遞減函數(shù)．
（2）∵f（x）在R上是減函數(shù)，
∴f（x）在[-3，3]上也是減函數(shù)．
∴f（-3）最大，f（3）最�。�
f（3）=f（2）+f（1）=f（1）+f（1）+f（1）=3×（-

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）=-2．
∴f（-3）=-f（3）=2．
即f（x）在[-3，3]上最大值為2，最小值為-2．

點評：本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性的判定以及抽象函數(shù)的應(yīng)用，同時考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題．