Question

1．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過點（0，1），且離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知直線l與橢圓C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，且△OAB的面積為S=1，其中O為坐標原點，求x${\;}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得b=1，運用離心率公式和a，b，c的關(guān)系，可得a=2，進而得到橢圓方程；
（Ⅱ）討論（1）當直線l垂直于x軸時，設(shè)為x=t，求出交點坐標，由面積求得t，可得所求值；（2）當直線l不垂直于x軸時，設(shè)直線l的方程為y=kx+m（m≠0），代入橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，點到直線的距離公式，求得三角形的面積，化簡整理，計算即可得到所求值．

解答 解：（Ⅰ）由已知條件得$\left\{\begin{array}{l}b=1\\ \frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}\\{a^2}={b^2}+{c^2}\end{array}\right.$，
解得$a=2，b=1，c=\sqrt{3}$，
∴橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．①
（Ⅱ）（1）當直線l垂直于x軸時，
設(shè)直線l的方程為x=t（-2＜t＜2），代入①得$\frac{t^2}{4}+{y^2}=1$，解得$y=±\sqrt{1-\frac{t^2}{4}}$，
∴$|{AB}|=2\sqrt{1-\frac{t^2}{4}}=\sqrt{4-{t^2}}$，
$S=\frac{1}{2}|{AB}||t|=\frac{1}{2}\sqrt{4-{t^2}}|t|$=$\frac{1}{2}\sqrt{{t^2}（4-{t^2}）}=1$，
解得t²=2，
∴$x_1^2+x_2^2=2{t^2}=4$，即$x_1^2+x_2^2=4$．                    
（2）當直線l不垂直于x軸時，設(shè)直線l的方程為y=kx+m（m≠0），
代入①得$\frac{x^2}{4}+（kx+m{）^2}=1$，即（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0．②
依題意得△=（8km）²-4（1+4k²）（4m²-4）=16（1+4k²-m²）＞0，
即1+4k²＞m²．                                          
∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點是直線l與橢圓C的交點，
∴x₁，x₂是方程②的兩個根，且${x_1}+{x_2}=-\frac{8km}{{1+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-4}}{{1+4{k^2}}}$，
∴$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|$=$\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$
=$4\sqrt{1+{k^2}}•\frac{{\sqrt{1+4{k^2}-{m^2}}}}{{1+4{k^2}}}$．                     
∵原點O到直線l的距離為$d=\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，△OAB的面積S=1，
∴$S=\frac{1}{2}|{AB}|•d$=$\frac{1}{2}•4\sqrt{1+{k^2}}•\frac{{\sqrt{1+4{k^2}-{m^2}}}}{{1+4{k^2}}}•\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$
=$\frac{{2\sqrt{{m^2}（1+4{k^2}-{m^2}）}}}{{1+4{k^2}}}=1$，
變形整理得1+4k²=2m²＞m²，
∴$x_1^2+x_2^2={（{x_1}+{x_2}）^2}-2{x_1}{x_2}$=${（{-\frac{8km}{{1+4{k^2}}}}）^2}-2•\frac{{4{m^2}-4}}{{1+4{k^2}}}$
=${（{-\frac{8km}{{2{m^2}}}}）^2}-2•\frac{{4{m^2}-4}}{{2{m^2}}}$=$\frac{{4（1+4{k^2}-{m^2}）}}{m^2}=4$，
∴$x_1^2+x_2^2=4$．                                     
由（1），（2）可得，當△OAB的面積S=1時，$x_1^2+x_2^2=4$．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用橢圓的離心率公式，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理和弦長公式，考查分類討論的思想方法和化簡整理的運算能力，屬于中檔題．