Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁，a₃，a₅，…成等差數(shù)列{a_2n-1}（n∈N^*），a₂，a₄，a₆，…成比數(shù)列{a_2n}（n∈N^*），且a₁=1，a₂=2，a₂，a₃，a₄，a₅成等差數(shù)列，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n．
（1）求S_n；
（2）設(shè)b_n=

S2n

2n

，求數(shù)列{b_n}的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）先利用等差數(shù)列及等比數(shù)列的定義求得a_2n-1=2n-1，a2n=2n，進(jìn)而分n為奇數(shù)和偶數(shù)寫出a_n．利用等差數(shù)列及等比數(shù)列的求和公式分別求得奇數(shù)項(xiàng)的和及偶數(shù)項(xiàng)的和，即得數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．
（2）b_n=

S2n

2n

=

4n2 4 +2n+1-2

2n

=

2•2n+n2-2

2n

=2+

n2-2

2n

，由此進(jìn)行列舉，能求出數(shù)列{b_n}的最大值．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_2n-1}（n∈N₊）的公差為d，等比數(shù)列{a_2n}（n∈N₊）的公比為q，
則2（1+d）=2+2q，4q=（1+d）+（1+2d），解得q=d=2．
于是a_2n-1=2n-1，a_2n=2ⁿ，
即數(shù)列的通項(xiàng)an=

n，n為奇數(shù) 2 n 2 ，n為偶數(shù)

，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)的和為

1+(2× n 2 -1)

2

×

n

2

=

n2

4

，
偶數(shù)項(xiàng)的和為

2(1-2 n 2 )

1-2

=2

n

2

+1-2，
故S_n=

n2

4

+2

n

2

+1-2．
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，S_n=S_n-1+a_n=

(n-1)2

4

+2

n+1

2

-2+n=2

n+1

2

+

n2+2n-7

4

．
∴S_n=

2 n+1 2 + n2+2n-7 4 ，n為奇數(shù) n2 4 +2 n 2 +1-2，n為偶數(shù)

．
（2）∵b_n=

S2n

2n

=

4n2 4 +2n+1-2

2n

=

2•2n+n2-2

2n

=2+

n2-2

2n

，
∴n=1時(shí)，b₁=2+

1-2

2

=

3

2

，
n=2時(shí)，b₂=2+

4-2

4

=

5

2

，
n=3時(shí)，b₃=2+

9-2

8

=

23

8

，
n=4時(shí)，b₄=2+

16-2

16

=

23

8

，
n=5時(shí)，b₅=2+

25-2

32

=

87

32

，
n=6時(shí)，b₆=2+

36-2

64

=

81

32

，
…
∴n=3或n=4時(shí)，數(shù)列{b_n}取最大值b3=b4=

23

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的求法，考查數(shù)列的最大值的求法，綜合性強(qiáng)，難度大，解題時(shí)要注意等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．