如圖所示，正三角形ABC中，D，E分別是AB，BC上的一個(gè)三等分點(diǎn)，且分別靠近點(diǎn)A、點(diǎn)B，且AE、CD交于點(diǎn)P．求證：BP⊥DC．
考點(diǎn)：直線與平面垂直的性質(zhì)
專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用,空間位置關(guān)系與距離
分析：設(shè)正三角形ABC的邊長(zhǎng)為，6，取B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC為x軸，BE=2．可求出B，A，D，E，C點(diǎn)的坐標(biāo)．從而可得AE方程，CD方程，解得交點(diǎn)P（
18
7
，
12
3
7
），可求出BP斜率與CD斜率之積為-1，從而證明BP⊥DC．
解答： 解：設(shè)正三角形ABC的邊長(zhǎng)為，6，取B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC為x軸，BE=2．
則有：B（0，0），A（3，3
3
），D（2，2
3
），E（2，0），C（6，0）．
AE方程：3
3
=
y
x-2
．
CD方程：
2
3
-4
=
y
x-6
．
解得交點(diǎn)P（
18
7
，
12
3
7
）．
BP斜率=
12
3
18
=
2
3
3
．
CD斜率=
2
3
-4
=-
3
2
．
∵
2
3
3
×（-
3
2
）=-1．
∴BP⊥CD
點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了直線與平面垂直的性質(zhì)，平面向量及應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的考查．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知cosα=
2
3
，270°＜α＜360°，求sin
α
2
，cos
α
2
和tan
α
2
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
(1+lnx)
(x-1)
，g（x）=
k
x
（k∈N+），對(duì)?c＞1，存在實(shí)數(shù)a，b滿足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b）成立，則k的最大值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

某學(xué)校為調(diào)查高二年學(xué)生的身高情況，按隨機(jī)抽樣的方法抽取80名學(xué)生，得到如下的列聯(lián)表
≥170cm＜170cm總計(jì)
男生身高10
女生身高4
總計(jì)80
已知在全部80人中隨機(jī)抽取一人抽到身高≥170cm的學(xué)生的概率是
17
40
．
（1）請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整；
（2）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下認(rèn)為“身高與性別有關(guān)”？
（3）在上述80名學(xué)生中，身高170～175cm之間的男生有16人，女生人數(shù)有4人．
從身高在170～175cm之間的學(xué)生中按男、女性別分層抽樣的方法，抽出5人，從這5人中選派3人當(dāng)旗手，求3人中恰好有一名女生的概率．
參考公式：K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

參考數(shù)據(jù)：
P（K2≥k0）0.0250.0100.0050.001
k05.0246.6357.87910.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)m、n是兩條不同的直線，α、β、γ是三個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：
①若α⊥β，β⊥γ，則α∥β；
②若α∥β，β∥γ，m⊥α，則m⊥γ；
③若m∥α，n∥α，則m∥n； 
④若m⊥α，n∥α，則m⊥n．
其中正確命題的序號(hào)是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3+1．
（1）求函數(shù)f（x）=x3+1在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）求該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=(1，0)與向量
b
=(1，
3
)，則向量
a
與
b
的夾角是（　　）
A、
π
6
B、
π
3
C、
2π
3
D、
5π
6

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

方程|log2x-2|+1=|log2x|的解集是（　�。�
A、{2，8}
B、{2
2
}
C、{
1
2
，8}
D、{2，
32
，
1
8
}

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

自二面角α-l-β的棱l上任選一點(diǎn)O，若∠AOB是二面角α-l-β的平面角，必須具備條件（　�。�
A、AO⊥OB，AO?α，BO?β
B、AO⊥l，BO⊥l
C、AB⊥l，AO?α，BO?β
D、AO⊥l，OB⊥l，AO?α，BO?β

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