Question

在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，設(shè)M、N、E、F分別是棱A₁B₁、A₁D₁、C₁D₁、B₁C₁的中點(diǎn)，求證：

(1)E、F、B、D四點(diǎn)共面；

(2)平面AMN∥平面EFBD.

Answer 1

證明：(1)分別連結(jié)B₁D₁、ED、FB，

由正方體性質(zhì)知B₁D₁∥BD.

∵E、F分別是D₁C₁和B₁C₁的中點(diǎn)，

∴EFB₁D₁.

∴EFBD.

∴E、F、B、D四點(diǎn)共面.

(2)連結(jié)A₁C₁交MN于P點(diǎn)，交EF于點(diǎn)Q，連結(jié)AC交BD于點(diǎn)O，分別連結(jié)PA、QO.

∵M(jìn)、N為A₁B₁、A₁D₁的中點(diǎn)，

∴MN∥EF.而EF面EFBD.

∴MN∥面EFBD.∵PQAO,

∴四邊形PAOQ為平行四邊形.∴PA∥QO.

而QO平面EFBD，∴PA∥平面EFBD，

且PA∩MN=P，PA、MN面AMN.

∴平面AMN∥平面EFBD.