Question

3．△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知向量$\overrightarrow m$=（cosA，b），$\overrightarrow n$=（sinA，a），若$\overrightarrow m$，$\overrightarrow n$共線，且B為鈍角．
（1）證明：B-A=$\frac{π}{2}$；
（2）若b=2$\sqrt{3}$，a=2，求△ABC面積．

Answer 1

分析 （1）由向量共線得出acosA-bsinA=0，利用正弦定理邊化角，得出cosA=sinB，使用誘導(dǎo)公式得出A，B的關(guān)系；
（2）將a，b代入acosA-bsinA=0得出A，根據(jù)（1）的結(jié)論得出B，從而求出C，代入面積公式計(jì)算面積．

解答 （1）證明：∵$\overrightarrow m，\overrightarrow n$共線，∴acosA-bsinA=0，
∴sinAcosA-sinBsinA=0即cosA=sinB，
∵B為鈍角，∴$cosA=sin（\frac{π}{2}+A）=sinB$
∴B=$\frac{π}{2}+A$，即B-A=$\frac{π}{2}$．
（2）∵a=2，b=2$\sqrt{3}$，
∴$2cosA-2\sqrt{3}sinA=0$．
∴tanA=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，∴A=$\frac{π}{6}$．
又B=A+$\frac{π}{2}$=$\frac{2π}{3}$，∴C=$\frac{π}{6}$，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}×\frac{1}{2}=\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理，三角形的面積公式，向量共線的坐標(biāo)表示，屬于中檔題．