Question

15．設(shè)拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)為F，過F的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，M為拋物線C的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，若|AB|=8，則tan∠AMB=2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)AB方程y=k（x-1），與拋物線方程y²=4x聯(lián)立，得到x₁+x₂=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$，根據(jù)弦長公式得到$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$+2=8，求出k²=1，解得A，B的坐標(biāo)，即可求出tan∠ACB．

解答 解：焦點(diǎn)F（1，0），M（-1，0），設(shè)AB方程y=k（x-1），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，即k²x²-2（k²+2）x+k²=0，
∴x₁+x₂=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$，
∵|AB|=x₁+x₂+p=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$+2=8，
∴k²=1，
即x²-6x+1=0，
解得x=3±2$\sqrt{2}$，
即A（3+2$\sqrt{2}$，2+2$\sqrt{2}$），B（3-2$\sqrt{2}$，2-2$\sqrt{2}$），
∴k_AM=$\frac{2+2\sqrt{2}}{4+2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$=tanα，k_BM=$\frac{2-2\sqrt{2}}{4-2\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$=tanβ，
∴tan∠AMB=$\frac{{k}_{AM}-{k}_{BM}}{1+{k}_{AM}{k}_{BM}}$=2$\sqrt{2}$，
故答案為：2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查差角的正切公式，求根據(jù)弦長公式求出k的值是關(guān)鍵，屬于中檔題．