求證：在直角三角形中，三條邊的長(zhǎng)成等差數(shù)列的充要條件是它們的比為3∶4∶5.

答案：
解析：

證明：（1）必要性

假定直角三角形三條邊的長(zhǎng)成等差數(shù)列，將這三條邊的長(zhǎng)從小到大排列，它們可以表示為a－d,a,a+d,這里a－d＞0,d＞0.

由于它們是直角三角形的三條邊的長(zhǎng).

∴（a－d）2+a2=(a+d)2,即a=4d.

從而這三條邊的長(zhǎng)是3d,4d,5d.

因此，這三條邊的長(zhǎng)的比是3∶4∶5.

(2)充分性

如果直角三角形三條邊的長(zhǎng)a,b,c的比為3∶4∶5，那么可設(shè)，a=3k,b=4k,c=5k,(k＞0)

∵b－a=k,c－b=k,∴b－a=c－b

即a,b,c成等差數(shù)列.

綜上，命題得證.


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