Question

19．已知數(shù)列{a_n}的前n項和是S_n，且S_n+$\frac{1}{2}$a_n=1（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=$lo{g}_{\frac{1}{3}}$（1-S_n+1）（n∈N^*），求數(shù)列{$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n=1時可求得a₁=$\frac{2}{3}$，當(dāng)n≥2時，化簡可得a_n=$\frac{1}{3}$a_n-1，從而求通項公式；
（2）化簡b_n=$lo{g}_{\frac{1}{3}}$（1-S_n+1）=n+1，從而化簡$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{1+n}$-$\frac{1}{n+2}$，從而利用裂項求和法求其和．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時，S₁+$\frac{1}{2}$a₁=1，
故a₁=$\frac{2}{3}$；
當(dāng)n≥2時，S_n+$\frac{1}{2}$a_n=1，S_n-1+$\frac{1}{2}$a_n-1=1，
故a_n+$\frac{1}{2}$a_n-$\frac{1}{2}$a_n-1=0，
故a_n=$\frac{1}{3}$a_n-1，
故數(shù)列{a_n}是以$\frac{2}{3}$為首項，$\frac{1}{3}$為公比的等比數(shù)列，
故a_n=$\frac{2}{3}$•（$\frac{1}{3}$）^n-1=$\frac{2}{{3}^{n}}$；
（2）由（1）知，1-S_n+1=$\frac{1}{2}$•a_n+1=$\frac{1}{{3}^{n+1}}$，
故b_n=$lo{g}_{\frac{1}{3}}$（1-S_n+1）=n+1，
故$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{1+n}$-$\frac{1}{n+2}$，
故T_n=（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{1+n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$=$\frac{n}{2（n+2）}$．

點評 本題考查了分類討論的思想應(yīng)用及等比數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用，同時考查了對數(shù)運算的應(yīng)用．