Question

在三角形ABC中，若角A，B，C所對(duì)的三邊a，b，c成等差數(shù)列，則下列結(jié)論中正確的是

 

（填上所有正確結(jié)論的序號(hào)）
（1）b²≥ac（2）

1

a

+

1

c

≤

2

b

（3）b²≤

a2+c2

2

（4）tan²

B

2

≤

1

3

．

Answer 1

考點(diǎn)：解三角形

專題：解三角形

分析：由a，b，c成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)得到2b=a+c，利用基本不等式得到a+c≥2

ac

，把2b=a+c代入得到結(jié)果，即可對(duì)于選項(xiàng)（1）做出判斷；選項(xiàng)（2）中不等式左邊通分并利用同分母分式的加法法則變形，把選項(xiàng)（1）的結(jié)論代入即可做出判斷；利用作差法判斷選項(xiàng)（3）即可；利用余弦定理表示出cosB，把2b=a+c代入并利用基本不等式化簡(jiǎn)求出cosB的范圍，確定出B的范圍，即可求出tan²

B

2

的范圍，做出判斷．

解答： 解：由a，b，c成等差數(shù)列，得到2b=a+c，
∵a+c≥2

ac

，
∴2b≥2

ac

，即b²≥ac，選項(xiàng)（1）正確；

1

a

+

1

c

=

a+c

ac

=

2b

ac

≥

2b

b2

=

2

b

，選項(xiàng)（2）錯(cuò)誤；
∵b²-

a2+c2

2

=

(a+c)2

4

-

a2+c2

2

=-

(a-c)2

4

≤0，選項(xiàng)（3）正確；
由余弦定理得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

4a2+4c2-(a+c)2

8ac

=

3(a2+c2)-2ac

8ac

≥

4ac

8ac

=

1

2

，
∴0＜B≤

π

3

，
則tan²

B

2

≤

1

3

，選項(xiàng)（4）正確，
故答案為：（1）（3）（4）

點(diǎn)評(píng)：此題屬于解三角形題型，涉及的知識(shí)有：等差數(shù)列的性質(zhì)，基本不等式的運(yùn)用，余弦定理，以及正切函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．