已知集合A={x|x2-mx+m=0},B={x|x2-4x<0},且A∩B的元素個數(shù)有且只有一個,求m的取值范圍.
解:B={x|0<x<4}
即函數(shù)f(x)=x
2-mx+m在x∈(0,4)上有且只有一解 (2分)
(1)當(dāng)△=0時,即m=0或4時,分別驗證,可得,當(dāng)m=4
時,x=2,符合題意,成立 (2分)
(2)當(dāng)f(0)•f(4)<0時,即
時,成立 (6分)
(3)當(dāng)f(0)=0時,不合題意,舍去
(4)當(dāng)f(4)=0時,
代入,可得,兩個解分別為
,符合題意,成立 (2分)
綜上所述,m的取值范圍是
或m=4(2分)
分析:根據(jù)題意易得B=(0,4),A∩B有且只有一個元素,A只能有一個根在(0,4)中,判別式△=m
2-4m,當(dāng)△=0時,x
2-mx+m=0只有一解;當(dāng)△>0時,可利用f(0)•f(4)<0求m的范圍,求出后檢驗方可,同時討論當(dāng)f(0)=0與f(4)=0的情況.
點評:本題考查集合的包含關(guān)系判斷,難點在于對f(x)=x
2-mx+m在x∈(0,4)上有且只有一解情況的討論,重點考查分類討論思想與轉(zhuǎn)化思想的運用,屬于難題.