Question

已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是（1，2），端點(diǎn)A在圓（x+1）²+y²=4上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)．
（1）若點(diǎn)M的軌跡為曲線C，求此曲線的方程；
（2）設(shè)直線l：x+y+3=0，求曲線C上的點(diǎn)到直線l距離的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題,軌跡方程

專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)線段AB中點(diǎn)M（x，y），A（x₁，y₁），由題意知x=

x1+1

2

，y=

y1+2

2

，可得x₁=2x-1，y₁=2y-2，由點(diǎn)A在圓（x+1）²+y²=4上運(yùn)動(dòng)，能求出點(diǎn)M的軌跡方程．
（2）找出圓心坐標(biāo)與半徑r，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離d，由d+r與d-r求出最大值與最小值．

解答： 解：（1）設(shè)線段AB中點(diǎn)M（x，y），A（x₁，y₁），
由題意知：x=

x1+1

2

，y=

y1+2

2

，
∴x₁=2x-1，y₁=2y-2，
∵點(diǎn)A在圓（x+1）²+y²=4上運(yùn)動(dòng)，
∴（2x-1+1）²+（2y-2）²=4，
整理，得x²+（y-1）²=1，
∴點(diǎn)M的軌跡方程是：x²+（y-1）²=1，表示以（0，1）為圓心，1為半徑的圓．
（2）解：由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程x²+（y-1）²=1，
∴圓心（0，1），半徑r=1，
∵圓心到直線x+y+3=0的距離d=

|0+1+3|

2

=2

2

，
∴圓上的點(diǎn)到直線的最大距離：2

2

+1，最小距離：2

2

-1．

點(diǎn)評(píng)：（1）本題考查線段的中點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查代入法的運(yùn)用，確定坐標(biāo)之間的關(guān)系是關(guān)鍵．（2）考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點(diǎn)到直線的距離公式，根據(jù)題意得出d+r為距離的最大值，d-r為距離的最小值是解本題的關(guān)鍵．