Question

求函數(shù)f（x）=

1-x2 2+x

的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,函數(shù)的值域

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由題意，可令t=x+2，進(jìn)行換元，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為y=

1-(t-2)2 t ?

=

4-(t+ 3 t )?

，t∈（-∞，0）∪[1，3]，再利用導(dǎo)數(shù)求出最值即可得出值域

解答： 解：由題意可得（1-x²）（2+x）≥0且x≠-2，解得函數(shù)的定義域是（-∞，-2）∪[-1，1]
令t=x+2∈（-∞，0）∪[1，3]，則
y=

1-(t-2)2 t ?

=

4-(t+ 3 t )?

，由于t∈（-∞，0）∪[1，3]，
令m=t+

3

t

，則m′=1-

3

t2

，
令m′＞0，解得t＞

3

或t＜-

3

，令m′＜0，可解得-

3

＜t＜

3

∴m=t+

3

t

在（-∞，-

3

）與（

3

，3]上增，在（-

3

，0）與（1，

3

）上減
又m（-

3

）=-2

3

，m（

3

）=2

3

，m（1）=4，m（3）=4
∴m=t+

3

t

∈（-∞，-2

3

]∪[2

3

，4]，
∴4-(t+

3

t

)∈[0，4-2

3

]∪[4+2

3

，+∞），又4±2

3

=（

3

±1）²
∴函數(shù)f（x）=

1-x2 2+x

的值域?yàn)閇0，

3

-1]∪[

3

+1，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)值域及最值是導(dǎo)數(shù)的重要運(yùn)用，本題在解答時(shí)采用了研究局部的技巧，此類(lèi)技巧近幾年高考?jí)狠S題中時(shí)有出現(xiàn)．