Question

18．已知二次函數(shù)f（x）=abx²-（b+2a）x+1有最小值f（2），當(dāng)a，b為何值時(shí)，f（2）有最大值，并求出f（2）的最大值．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的對稱軸，得到2a+b=ab，表示出f（2），根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出f（2）的最大值即可．

解答 解：由題意得：對稱軸x=$\frac{2a+b}{2ab}$=2，
∴2a+b=4ab，
∵函數(shù)f（x）有最小值，∴ab＞0，
∴$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{4a}$=1，∴a＞0，b＞0，
∴f（2）=1-（2a+b），
而2a+b=（2a+b）（$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{4a}$）=1+$\frac{a}$+$\frac{4a}$≥2，
當(dāng)且僅當(dāng)b=2a=1時(shí)“=”成立，
∴f（2）是最大值是1-2=-1．

點(diǎn)評 不同考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查基本不等式的性質(zhì)以及“乘1法”的應(yīng)用，是一道中檔題．