已知函數(shù)f(x)=
x
1+x
(x>0),設f(x)在點(n,f(n))(n∈N*)處的切線在y軸上的截距為bn,數(shù)列{an}滿足:a1=
1
2
,an+1=f(an)(n∈
N*).
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)在數(shù)列{
bn
a
2
n
+
λ
an
}
中,僅當n=5時,
bn
a
2
n
+
λ
an
取最小值,求λ的取值范圍;
(Ⅲ)令函數(shù)g(x)=f(x)(1+x)2,數(shù)列{cn}滿足:c1=
1
2
,cn+1=g(cn)(n∈N*),求證:對于一切n≥2的正整數(shù),都滿足:1<
1
1+c1
+
1
1+c2
+…+
1
1+cn
<2.
分析:(Ⅰ)由f(x)=
x
1+x
(x>0)
.和an+1=f(an)=
an
1+an
,可得到
1
an+1
=
1
an
+1
最后由等差數(shù)列的定義求解即可.
(Ⅱ)通過求導得到切線的斜率,從而求得切線的方程,y-f(n)=
1
(1+n)2
(x-n)
,令x=0,可得bn=
n
1+n
-
n
(1+n)2
=
n2
(1+n)2
.化簡
bn
an2
+
λ
an
=n2+λ(n+1)=(n+
λ
2
)2+λ-
λ2
4
由二次函數(shù)法求解即可.
(Ⅲ)結合(I)得g(x)=f(x)(1+x)2=x(1+x),所以cn+1=g(cn)=cn(1+cn),兩邊取倒數(shù)可得
1
1+cn
=
1
cn
-
1
cn+1
.再由錯位相消法化簡問題論證即可.
解答:解:(Ⅰ)∵f(x)=
x
1+x
(x>0)
.則an+1=f(an)=
an
1+an
,得
1
an+1
=
1
an
+1
,即
1
an+1
-
1
an
=1
,
∴數(shù)列{
1
an
}
是以2為首項、1為公差的等差數(shù)列,
an=
1
n+1
.(4分)
(Ⅱ)又∵[f(x)]′=
1
(1+x)2

∴函數(shù)f(x)在點(n,f(n))(n∈N*)處的切線方程為:y-f(n)=
1
(1+n)2
(x-n)

令x=0,得bn=
n
1+n
-
n
(1+n)2
=
n2
(1+n)2

bn
an2
+
λ
an
=n2+λ(n+1)=(n+
λ
2
)2+λ-
λ2
4
,僅當n=5時取得最小值,
只需4.5<-
λ
2
<5.5
,解得-11<λ<-9.
故λ的取值范圍為(-11,-9).(9分)
(Ⅲ)∵g(x)=f(x)(1+x)2=x(1+x),故cn+1=g(cn)=cn(1+cn),
又∵c1=
1
2
>0
,故cn>0,則
1
cn+1
=
1
cn(1+cn)
=
1
cn
-
1
1+cn
,
1
1+cn
=
1
cn
-
1
cn+1
.(11分)
1
1+c1
+
1
1+c2
++
1
1+cn
=(
1
c1
-
1
c2
)+(
1
c2
-
1
c3
)++(
1
cn
-
1
cn+1
)

=
1
c1
-
1
cn+1
=2-
1
cn+1
<2

1
1+c1
+
1
1+c2
++
1
1+cn
1
1+c1
+
1
1+c2
=
1
1+
1
2
+
1
1+
3
4
=
2
3
+
4
7
=
26
21
>1

1<
1
1+c1
+
1
1+c2
++
1
1+cn
<2
.(14分)
點評:本題是函數(shù)、數(shù)列、不等式、導數(shù)等的大型綜合題,情景新穎,具有較好的區(qū)分度,要求學生具有一定的審題、讀題能力,一定的等價變形能力,是一種比較常見的題型,尤其數(shù)列不等式采用導數(shù)工具來處理的新題不可小視.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是(  )
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學 來源:深圳一模 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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