Question

12．若三角形三邊長(zhǎng)都是整數(shù)且至少有一個(gè)內(nèi)角為$\frac{π}{3}$，則稱該三角形為“完美三角形”．有關(guān)“完美三角形”有以下命題：
（1）存在直角三角形是“完美三角形；
（2）不存在面積是整數(shù)的“完美三角形”；
（3）周長(zhǎng)為12的“完美三角”中面積最大為4$\sqrt{3}$；
（4）若兩個(gè)“完美三角形”有兩邊對(duì)應(yīng)相等，且面積相等，則這兩個(gè)“完美三角形“全等．
以上真命題有（3）（4）．（寫出所有真命題的序號(hào)．）

Answer 1

分析 （1）在Rt△ABC中，C=90°，A=60°，可得三邊之比為：1：$\sqrt{3}$：2，即可判斷出真假．
（2）由S=$\frac{1}{2}$absin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab，若面積是整數(shù)，則存在正整數(shù)x，使得$\sqrt{3}$ab=4x，此式不成立，即可判斷出真假．
（3）設(shè)C=$\frac{π}{3}$，可得a+b+c=12，c²=a²+b²-2ab$cos\frac{π}{3}$，化為$（\sqrt{ab}）^{2}$-16$\sqrt{ab}$+48≥0，解出即可判斷出真假．
（4）設(shè)C=$\frac{π}{3}$=C₁，對(duì)邊分類討論：①若夾角$\frac{π}{3}$的兩條邊分別相等，可得此兩個(gè)三角形全等；②若夾角$\frac{π}{3}$其中一條邊相等，由于面積相等，夾角$\frac{π}{3}$另一條邊必然相等，此兩個(gè)三角形全等．

解答 解：（1）若Rt△ABC中，C=90°，A=60°，則三邊之比為：1：$\sqrt{3}$：2，因此不存在直角三角形是“完美三角形，因此（1）是假命題；
（2）由S=$\frac{1}{2}$absin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab，若面積是整數(shù)，則存在正整數(shù)x，使得$\sqrt{3}$ab=4x，由于a，b都為整數(shù)，此式不成立，因此不存在面積都是整數(shù)的“完美三角形”，（2）是真命題；
（3）設(shè)C=$\frac{π}{3}$，則a+b+c=12，c²=a²+b²-2ab$cos\frac{π}{3}$，可得（12-a-b）²=a²+b²-ab，
化為$（\sqrt{ab}）^{2}$-16$\sqrt{ab}$+48≥0，解得0＜$\sqrt{ab}$≤4，即ab≤16，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=4時(shí)取等號(hào)，
可得周長(zhǎng)為12的“完美三角”中面積最大為$\frac{1}{2}×16×\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$，是真命題；
（4）設(shè)C=$\frac{π}{3}$=C₁，①若夾角$\frac{π}{3}$的兩條邊分別相等，滿足條件，則此兩個(gè)三角形全等；
②若夾角$\frac{π}{3}$其中一條邊相等，由于面積相等，夾角$\frac{π}{3}$另一條邊必然相等，可得：此兩個(gè)三角形全等．因此是真命題．
以上真命題有（2）（3）（4）．
故答案為：（2）（3）（4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解三角形、余弦定理、三角形面積計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì)、新定義、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．