Question

12．已知某輪船速度為每小時10千米，燃料費為每小時30元，其余費用（不隨速度變化）為每小時480元，設輪船的燃料費用與其速度的立方成正比，問輪船航行的速度為每小時多少千米時，每千米航行費用總和為最�。�

Answer 1

分析 可設輪船的速度為每小時x千米，燃料費為每小時t元，并且每千米航行費用總和為y元，根據(jù)條件可以得到$t=\frac{3}{100}{x}^{3}$，進一步得出$y=\frac{3}{100}{x}^{2}+\frac{480}{x}$，求導數(shù)便可得到$y′=\frac{\frac{3}{50}（{x}^{3}-8000）}{{x}^{2}}$，根據(jù)導數(shù)符號便可判斷出：當$x=40\sqrt{5}$時，y取到最小值，即得出輪船航行速度為每小時$40\sqrt{5}$千米時，每千米航行費用總和為最�。�

解答 解：設輪船的速度為每小時x千米，燃料費為每小時t元，每千米航行費用總和為y元，由輪船的燃料費用與其速度的立方成正比得：
t=kx³；
∴30=1000k；
∴$k=\frac{3}{100}$；
∴$t=\frac{3}{100}{x}^{3}$；
∴$y=\frac{3}{100}{x}^{2}+\frac{480}{x}$，$y′=\frac{3}{50}x-\frac{480}{{x}^{2}}=\frac{\frac{3}{50}（{x}^{3}-8000）}{{x}^{2}}$；
$x∈（0，40\sqrt{5}）$時，y′＜0，x$∈（40\sqrt{5}，+∞）$時，y′＞0；
∴$x=40\sqrt{5}$時，y取最小值；
即輪船航行的速度為每小時$40\sqrt{5}$千米時，每千米航行費用總和為最�。�

點評 本題考查根據(jù)實際問題建立函數(shù)關系式的方法，正比例函數(shù)的一般形式，以及根據(jù)導數(shù)符號求函數(shù)的最值的方法和過程，清楚y=x³的單調(diào)性．