Question

在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為矩形，SA⊥平面ABCD，SA=AD，M為AB的中點(diǎn)，N為SC的中點(diǎn)．
（1）求證：MN∥平面SAD； 
（2）求證：平面SMC⊥平面SCD；
（3）記

CD

AD

=λ，求實(shí)數(shù)λ的值，使得直線SM與平面SCD所成的角為30°．

Answer 1

分析：（1）取SD中點(diǎn)E，連接AE，NE，由三角形中位線定理，及M為AB中點(diǎn)，可證明四邊形AMNE為平行四邊形，則MN∥AE，由線面平行的判定定理即可得到MN∥平面SAD；
（2）由已知中SA⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形可得，SA⊥CD，AD⊥CD，由線面垂直的判定定理可得CD⊥平面SAD，則∠SDA即為二面角S-CD-A的平面角，結(jié)合已知中二面角S-CD-A的平面角為45°，可得△SAD為等腰直角三角形，則AE⊥SD，結(jié)合CD⊥AE及線面垂直的判定定理，可得AE⊥平面SCD，則MN⊥平面SCD，最終由面面垂直的判定定理可得平面SMC⊥平面SCD
（3）若 

CD

AD

=λ，設(shè)AD=SA=a，則CD=λa，結(jié)合（2）的結(jié)論，可得∠MSN即為直線SM與平面SCD所成角，等于30°，解三角形SAM，即可求出λ值．

解答：證明：（1）取SD中點(diǎn)E，連接AE，NE，
則NE=

1

2

CD=AM，NE∥CD∥AM，
∴四邊形AMNE為平行四邊形，∴MN∥AE…（1分）
又∵M(jìn)N?平面SAD，AE?平面SAD，
∴MN∥平面SAD…（3分）
（2）∵SA⊥平面ABCD，∴SA⊥CD，∵底面ABCD為矩形，∴AD⊥CD，
又∵SA∩AD=A，SA?平面SAD，AD?平面SAD，
∴CD⊥平面SAD，∴CD⊥SD
∴∠SDA即為二面角S-CD-A的平面角，
即∠SDA=45°…（5分）
∴△SAD為等腰直角三角形，∴AE⊥SD
∵CD⊥平面SAD，∴CD⊥AE，
又SD∩CD=D，SD?平面SCD，CD?平面SCD
∴AE⊥平面SCD∵M(jìn)N∥AE，∴MN⊥平面SCD，
∵M(jìn)N?平面SMC，
∴平面SMC⊥平面SCD…（8分）
（3）∵

CD

AD

=λ，設(shè)AD=SA=a，則CD=λa
由（2）可得MN⊥平面SCD，∴SN即為SM在平面SCD內(nèi)的射影
∴∠MSN即為直線SM與平面SCD所成角，
即∠MSN=30°…（9分）
而MN=AE=

2

2

a，
∴Rt△SAM中，SM=

a2+(λa)2

，而MN=AE=

2

2

a，
∴Rt△SAM中，由sin∠MSN=

MN

SN

得

1

2

=

2 2 a

a2+(λa)2

，解得λ=2
當(dāng)λ=2時(shí)，直線SM與平面SCD所成角為30°（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，直線與平面所成的角，其中熟練掌握空間直線與平面平行、垂直、夾角的定義、判定、性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．