已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
3
2
，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A、B，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-a，0）．
（i）若|AB|=
4
2
5
，求直線l的傾斜角；
（ii）若點(diǎn)Q（0，y0）在線段AB的垂直平分線上，且
QA
•
QB
=4．求y0的值．
分析：（1）由離心率求得a和c的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)c2=a2-b2求得a和b的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)
1
2
×2a×2b=4求得a和b，則橢圓的方程可得．
（2）（i）由（1）可求得A點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)B的坐標(biāo)和直線l的斜率，表示出直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y，由韋達(dá)定理求得點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的表達(dá)式，進(jìn)而利用直線方程求得其縱坐標(biāo)表達(dá)式，表示出|AB|進(jìn)而求得k，則直線的斜率可得．
（ii）設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，由（i）可表示M的坐標(biāo)，看當(dāng)k=0時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2，0），線段AB的垂直平分線為y軸，進(jìn)而根據(jù)
QA
•
QB
=4求得y0；當(dāng)k≠0時(shí)，可表示出線段AB的垂直平分線方程，令x=0得到y(tǒng)0的表達(dá)式根據(jù)
QA
•
QB
=4求得y0；綜合答案可得．
解答：解：（Ⅰ）由e=
c
a
=
3
2
，得3a2=4c2．
再由c2=a2-b2，解得a=2b．
由題意可知
1
2
×2a×2b=4，即ab=2．
解方程組
a=2b
ab=2
得a=2，b=1．
所以橢圓的方程為
x2
4
+y2=1．
（Ⅱ）（i）解：由（Ⅰ）可知點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-2，0）．
設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x1，y1），直線l的斜率為k．
則直線l的方程為y=k（x+2）．
于是A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組
y=k(x+2)
x2
4
+y2=1.

消去y并整理，得（1+4k2）x2+16k2x+（16k2-4）=0．
由-2x1=
16k2-4
1+4k2
，得x1=
2-8k2
1+4k2
．從而y1=
4k
1+4k2
．
所以|AB|=
(-2-
2-8k2
1+4k2
)2+(
4k
1+4k2
)2
=
4
1+k2
1+4k2
．
由|AB|=
4
2
5
，得
4
1+k2
1+4k2
=
4
2
5
．
整理得32k4-9k2-23=0，即（k2-1）（32k2+23）=0，解得k=±1．
所以直線l的傾斜角為
π
4
或
3π
4
．
（ii）設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，
由（i）得到M的坐標(biāo)為(-
8k2
1+4k2
，
2k
1+4k2
)．
以下分兩種情況：
（1）當(dāng)k=0時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2，0），
線段AB的垂直平分線為y軸，
于是
QA
=(-2，-y0)，
QB
=(2，-y0)．
由
QA
•
QB
=4，得y0=±2
2
．
（2）當(dāng)k≠0時(shí)，線段AB的垂直平分線方程為
y-
2k
1+4k2
=-
1
k
(x+
8k2
1+4k2
)．
令x=0，解得y0=-
6k
1+4k2
．
由
QA
=(-2，-y0)，
QB
=(x1，y1-y0)，
QA
•
QB
=-2x1-y0(y1-y0)
=
-2(2-8k2)
1+4k2
+
6k
1+4k2
(
4k
1+4k2
+
6k
1+4k2
 )
=
4(16k4+15k2-1)
(1+4k2)2
=4，
整理得7k2=2．故k=±
14
7
．
所以y0=±
2
14
5
．
綜上，y0=±2
2
或y0=±
2
14
5
．
點(diǎn)評：本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、兩點(diǎn)間的距離公式、直線的傾斜角、平面向量等基礎(chǔ)知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想，考查綜合分析與運(yùn)算能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，左頂點(diǎn)為A，若|F1F2|=2，橢圓的離心率為e=
1
2

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，
（Ⅱ）若P是橢圓上的任意一點(diǎn)，求
PF1
•
PA
的取值范圍
（III）直線l：y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)M，N（均不是長軸的頂點(diǎn)），AH⊥MN垂足為H且
AH
2=
MH
•
HN
，求證：直線l恒過定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)F（-c，0）是長軸的一個(gè)四等分點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點(diǎn)，記直線AD、BC的斜率分別為k1，k2
（1）當(dāng)點(diǎn)D到兩焦點(diǎn)的距離之和為4，直線l⊥x軸時(shí)，求k1：k2的值；
（2）求k1：k2的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率是
3
2
，且經(jīng)過點(diǎn)M（2，1），直線y=
1
2
x+m(m＜0)與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）當(dāng)m=-1時(shí)，求△MAB的面積；
（3）求△MAB的內(nèi)心的橫坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•威海二模）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e=
6
3
，過右焦點(diǎn)做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且兩交點(diǎn)與橢圓的左焦點(diǎn)及右頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)M（0，2），直線l：y=1，過M任作一條不與y軸重合的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，若N為AB的中點(diǎn)，D為N在直線l上的射影，AB的中垂線與y軸交于點(diǎn)P．求證：
ND
•
MP
AB
2
為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F，過F作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點(diǎn)，若|MN|=3，且橢圓離心率是方程2x2-5x+2=0的根，求橢圓方程．

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同步練習(xí)冊答案