Question

已知函數y=f（x）=

lnx

x

．
（1）求函數y=f（x）的圖象在x=

1

e

處的切線方程；
（2）求y=f（x）的最大值；
（3）設實數a＞0，求函數F（x）=af（x）在[a，2a]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用導數的幾何意義：導數在切點處的導數值是曲線的切線的斜率，求出切線方程．
（2）令導函數為0求出根，判斷根左右兩邊的導函數符號，判斷出函數的單調性，求出函數的最值．
（3）利用（2）的結論，判斷出函數的最大值在e處取得；最小值在端點處取得；通過對a的分類討論比較出兩個端點值的大小，求出最小值．

解答：解：（1）∵f（x）定義域為（0，+∞），∴f′（x）=

1-lnx

x2

∵f（

1

e

）=-e，又∵k=f′（

1

e

）=2e²，
∴函數y=f（x）的在x=處的切線方程為：
y+e=2e²（x-

1

e

），即y=2e²x-3e．
（2）令f′（x）=0得x=e．
∵當x∈（0，e）時，f′（x）＞0，f（x）在（0，e）上為增函數，
當x∈（e，+∞）時，f′（x）＜0，則在（e，+∞）上為減函數，
∴f_max（x）=f（e）=

1

e

．
（3）∵a＞0，由（2）知：
F（x）在（0，e）上單調遞增，在（e，+∞）上單調遞減．
∴F（x）在[a，2a]上的最小值f（x）_min=min{F（a），F（2a）}，
∵F（a）-F（2a）=

1

2

ln

a

2

，
∴當0＜a≤2時，F（a）-F（2a）≤0，f_min（x）=F（a）=lna．
當a＞2時，F（a）-F（2a）＞0，f（x）_min=f（2a）=

1

2

ln2a．

點評：本題考查導數的幾何意義：導數在切點處的導數值是曲線的切線的斜率、函數的單調性與導函數符號的關系、
利用導數求函數的最值、分類討論的數學思想方法．