Question

18．在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C₁：ρ²-4ρcosθ+3=0，θ∈[0，2π]，曲線C₂：ρ=$\frac{3}{{4sin（{\frac{π}{6}-θ}）}}$，θ∈[0，2π]．
（Ⅰ）求曲線C₁的一個(gè)參數(shù)方程；
（Ⅱ）若曲線C₁和曲線C₂相交于A、B兩點(diǎn)，求|AB|的值．

Answer 1

分析 （I）曲線C₁：ρ²-4ρcosθ+3=0，θ∈[0，2π]，可得直角坐標(biāo)方程：x²+y²-4x+3=0，配方為：（x-2）²+y²=1，利用x-2=cosα，y=sinα，即可得出曲線C₁的一個(gè)參數(shù)方程．
（II）曲線C₂：ρ=$\frac{3}{{4sin（{\frac{π}{6}-θ}）}}$，（θ∈[0，2π]0，展開可得：4ρ$（\frac{1}{2}cosθ-\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ）$=3，即2ρcosθ-2$\sqrt{3}$sinθ=3，把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$d代入可得直角坐標(biāo)方程．利用懂得珍惜可得圓心到直線l的距離d，可得|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-d1ntxzj^{2}}$．

解答 解：（I）曲線C₁：ρ²-4ρcosθ+3=0，θ∈[0，2π]，
可得直角坐標(biāo)方程：x²+y²-4x+3=0，配方為：（x-2）²+y²=1，
利用x-2=cosα，y=sinα，可得曲線C₁的一個(gè)參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)，α∈R）．
（II）曲線C₂：ρ=$\frac{3}{{4sin（{\frac{π}{6}-θ}）}}$，（θ∈[0，2π]0，展開可得：4ρ$（\frac{1}{2}cosθ-\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ）$=3，
即2ρcosθ-2$\sqrt{3}$sinθ=3，可得直角坐標(biāo)方程：2x-2$\sqrt{3}$y-3=0．
圓心到直線l的距離d=$\frac{|2×2-0-3|}{\sqrt{{2}^{2}+（-2\sqrt{3}）^{2}}}$=$\frac{1}{4}$，∴|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-1zhrjzr^{2}}$=2$\sqrt{1-\frac{1}{16}}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、點(diǎn)到直線的距離公式、直線與圓相交弦長公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．