Question

13．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點為（1，0），離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過橢圓C的左焦點且斜率為k的直線l與橢圓C交于M、N兩點．
（i）若以MN為直徑的圓過坐標原點O，求k的值；
（ii）若P（-1，2），求△MNP面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運用橢圓的離心率公式和a，b，c的關系，解得a，b，進而得到橢圓方程；
（Ⅱ）（i）設出直線l的方程為y=k（x+1），代入橢圓方程，可得x的方程，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），運用韋達定理，再由以MN為直徑的圓過坐標原點O，可得OM⊥ON，即有$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0，即x₁x₂+y₁y₂=0，由M，N的坐標滿足直線方程，代入化簡，代入韋達定理，解方程可得k的值；
（ii）運用弦長公式可得|MN|，運用點到直線的距離公式，可得P到直線l的距離，運用三角形的面積公式化簡整理，運用換元法，結合函數的單調性，即可得到所求最大值．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得c=1，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得a=$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
即有橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（Ⅱ）（i）由左焦點（-1，0），可設直線l的方程為y=k（x+1），
代入橢圓方程x²+2y²=2，可得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），即有x₁+x₂=-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
由以MN為直徑的圓過坐標原點O，可得OM⊥ON，
即有$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0，即x₁x₂+y₁y₂=0
即x₁x₂+k²（x₁+1）（x₂+1）=0，
即為（1+k²）x₁x₂+k²+k²（x₁+x₂）=0，
代入韋達定理，可得（1+k²）（-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$）+k²+k²•$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$=0，
化簡可得k²=2，解得k=±$\sqrt{2}$；
（ii）|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{16{k}^{4}}{（1+2{k}^{2}）^{2}}-\frac{8（{k}^{2}-1）}{1+2{k}^{2}}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$，
P（-1，2）到直線l：y=k（x+1）的距離為d=$\frac{|-k+k-2|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
可得△MNP的面積S=$\frac{1}{2}$|MN|•d=$\frac{1}{2}$$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$•$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
=2$\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$，
設t=$\sqrt{1+{k}^{2}}$（t≥1），則k²=t²-1，
即有S=2$\sqrt{2}$•$\frac{t}{2{t}^{2}-1}$=$\frac{2\sqrt{2}}{2t-\frac{1}{t}}$，
由2t-$\frac{1}{t}$在[1，+∞）遞增，可得t=1時，2t-$\frac{1}{t}$取得最小值1，
則當k=0時，△MNP面積取得最大值2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用橢圓的離心率公式和基本量的關系，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理和弦長公式，點到直線的距離公式，同時考查直徑所對的圓周角為直角，以及向量數量積的坐標表示，化簡整理的運算能力，屬于中檔題．