Question

（2012•邯鄲一模）雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，過焦點(diǎn)F₂且垂直于x軸的直線與雙曲線相交于A、B兩點(diǎn)，若

F1A

•

F1B

=0，則雙曲線的離心率為

2

+1

．

Answer 1

分析：因?yàn)?span id="jxx51r5" class="MathJye">

F1A

•

F1B

=0，所以AF₁與BF₁互相垂直，結(jié)合雙曲線的對(duì)稱性可得：△AF₁B是以AB為斜邊的等腰直角三角形．由此建立關(guān)于a、b、c的等式，化簡(jiǎn)整理為關(guān)于離心率e的方程，解之即得該雙曲線的離心率．

解答：解：根據(jù)題意，得右焦點(diǎn)F₂的坐標(biāo)為（c，0）
聯(lián)解x=c與

x2

a2

-

y2

b2

=1，得A（c，

b2

a

），B（c，-

b2

a

）
∵

F1A

•

F1B

=0
∴AF₁與BF₁互相垂直，△AF₁B是以AB為斜邊的等腰Rt△
由此可得：|AB|=2|F₁F₂|，即

2b2

a

=2×2c
∴

c2-a2

a

=2c，可得c²-2ac-a²=0，兩邊都除以a²，得e²-2e-1=0
解之得：e=

2

+1（舍負(fù)）
故答案為：

2

+1

點(diǎn)評(píng)：本題給出經(jīng)過雙曲線右焦點(diǎn)并且與實(shí)軸垂直的弦，與左焦點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，求雙曲線的離心率，著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．