Question

（2012•安徽模擬）已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+c（a，b，c∈R，a≠0）的圖象過(guò)點(diǎn)P（-1，2）且在P處的切線與直線x-3y=0垂直．
（Ⅰ）若c=0，試求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若a＞0，b＞0且f（x）在區(qū)間（-∞，m）及（n，+∞）上均為增函數(shù)，試證：n-m＞1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得f′（-1）=3a-2b，過(guò)P的切線與直線x-3y=0垂直，c=0，可解得a=1，b=3，從而利用導(dǎo)數(shù)法可求得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b=

3

2

（a+1），代入f′（x）=3ax²+2bx，可得f'（x）=3ax²+3（a+1）x，利用f′（x）≥0得：x≤-

a+1

a

或x≥0，結(jié)合題意即可證得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=ax³+bx²+c，
∴f′（x）=3ax²+2bx，
∴f′（-1）=3a-2b，
又過(guò)P的切線與直線x-3y=0垂直，
∴3a-2b=-3，
又c=0，
∴f（-1）=-a+b=2，聯(lián)立

3a-2b=-3 -a+b=2

，解得a=1，b=3．
∴f（x）=x³+3x²，f'（x）=3x²+6x；
由f'（x）≥0⇒x≤-2或x≥0；f'（x）＜0⇒-2＜x＜0
∴f（x）在（-∞，-2]及[0，+∞）上單調(diào)遞增，在[-2，0]上單調(diào)遞減．
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，b=

3

2

（a+1），
∴f'（x）=3ax²+3（a+1）x且a＞0，令f′（x）≥0得：x≤-

a+1

a

或x≥0，
又f（x）在區(qū)間（-∞，m）及（n，+∞）上均為增函數(shù)，
∴n-m≥0-（-

a+1

a

）=

a+1

a

=1+

1

a

＞1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求得f（x）=x³+3x²是基礎(chǔ)，靈活應(yīng)用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性間的關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬于中檔題．