Question

在雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)中，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，B為左頂點(diǎn)．點(diǎn)A在x軸正半軸上，且滿足|OA|，|OB|，|OF|成等比數(shù)列．過F作C位于一、三象限內(nèi)的漸近線的垂線，垂足為P．
（1）求證：

PA

•

OP

=

PA

•

FP

；
（2）若

|OB|

|OA|

=2，|FP|=2

3

，過點(diǎn)（0，-2）的直線l與雙曲線C交于不同兩點(diǎn)M與N，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．求

OM

•

ON

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先由|OA|，|OB|，|OF|成等比數(shù)列求出A點(diǎn)坐標(biāo)．再由過F作C，位于一、三象限內(nèi)的漸近線的垂線，垂足為P，求得p點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)P、A點(diǎn)坐標(biāo)得PA⊥OF，再把要證明的結(jié)論變形即可．
（2）由給出的條件先求出雙曲線C的方程，設(shè)直線l的方程y=kx-2；再把

OM

•

ON

用M和N的坐標(biāo)表示，即含k的代數(shù)式，利用直線和雙曲線的方程有兩不等根，即△＞0，解得k的范圍，從而求出

OM

•

ON

的范圍．

解答：解：（1）設(shè)A（x，0），x＞0．而F（c，0），B（-a，0）．
由題意得，a²=x•c，所以x=

a2

c

，即A(

a2

c

，0)．
雙曲線位于一、三象限的漸近線方程為y=

b

a

x，其過F的垂線為y=-

a

b

(x-c)，
聯(lián)立兩直線方程可求出P(

a2

c

，

ab

c

)．
可見PA⊥OF

PA

•

OP

-

PA

•

FP

=

PA

•(

OP

-

FA

)=

PA

•

OF

=0，所以

PA

•

OP

=

PA

•

FP

．
（2）因?yàn)?span id="nfjcq4w" class="MathJye">

|OB|

|OA|

=

a

a2 c

=

c

a

=2，|FP|=

bc

a2+b2

=b=2

3

，所以C：

x2

4

-

y2

12

=1
設(shè)l：y=kx-2代入雙曲線方程得（3-k²）x²+4kx-16=0，又設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
則

OM

•

ON

=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1-2)(kx2-2)=(1+k2)x1x2-2k(x1+x2)+4，
由韋達(dá)定理，上式=12+

40

k2-3

．再由△=16k²+4×16（3-k²）＞0?0≤k²＜4且k²≠3，
由此可求出

OM

•

ON

的范圍是(-∞，-

4

3

]∪(52，+∞)

點(diǎn)評(píng)：此題是一道數(shù)列和雙曲線的綜合應(yīng)用題，該題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，直線和雙曲線的關(guān)系，
解答此題關(guān)鍵在于找出幾何關(guān)系及直線和雙曲線的交點(diǎn)與方程組的解相互聯(lián)系，不要忽視了“△＞0”這個(gè)隱含條件．