Question

正整數(shù)按下列方法分組：{1}，{2，3，4}，{5，6，7，8，9}，{10，11，12，13，14，15，16}，…記第n組中各數(shù)之和為A_n；由自然數(shù)的立方構(gòu)成下列數(shù)組：{0³，1³}，{1³，2³}，{2³，3³}，{3³，4³}，…記第n組中后一個數(shù)與前一個數(shù)的差為B_n，則A_n+B_n=

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)所給的兩個數(shù)列的特點，看出前n組共有1+3+5+…+（2n-1）=n²個正整數(shù)，故用前n組的和減去前n-1組的和，寫出表示式，后面要求的兩個數(shù)字的差，可以用立方差公式整理得到結(jié)果，不兩部分相加得到結(jié)果．

解答：解：{1}，{2，3，4}，{5，6，7，8，9}，{10，11，12，13，14，15，16}，…
前n組共有1+3+5+…+（2n-1）=n²個正整數(shù)，故
An=（1+2+3+…+n²）-[1+2+3+…+（n-1）²]
（用前n組的和減去前n-1組的和）
=

n2(1+n2)

2

-

(n-1)2[1+(n-1)2]

2

=（2n-1）（n²-n+1）
B_n=n³-（n-1）³
故An+Bn=2n³
故答案為：2n³

點評：本題考查數(shù)列的查分的概念，是一個基礎(chǔ)題，解題的關(guān)鍵是看清題目中所給的數(shù)列的項與項數(shù)之間的關(guān)系，注意運算過程不要出錯．