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7.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側棱AA1⊥底面ABC,AB⊥BC,AB=BC,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中點,點F在線段AA1上,當AF=a或2a時,CF⊥平面B1DF.

分析 本題適合建立空間坐標系得用向量法解決這個立體幾何問題,建立空間坐標系,給出有關點的坐標,設出點F的坐標,由線面垂直轉化為線的方向向量與面的法向量垂直,利用二者內積為零建立關于參數(shù)的方程參數(shù),即可計算得解.

解答 解:由題意可得直三棱柱ABC-A1B1C1中,
BB1⊥面ABC,∠ABC=π2
以B點為原點,BA、BC、BB1分別為x、y、z軸建立如圖所示空間直角坐標系.
因為AC=2a,∠ABC=90°,所以AB=BC=2a,
從而B(0,0,0),A(2a,0,0),C(0,2a,0),B1(0,0,3a),A12a,0,3a),C1(0,2a,3a),D(22a,22a,3a),
所以 CA1=(2a,-2a,3a),
設AF=x,則F(2a,0,x),CF=(2a,-2a,x),
B1F=(2a,0,x-3a),B1D=(22a,22a,0).
CFB1D=2a•22a+(-2a)•22a+x•0=0,
所以CFB1D
要使CF⊥平面B1DF,只需CF⊥B1F.
CFB1F=2a2+x(x-3a)=0,得x=a或x=2a,
故當AF=a或2a時,CF⊥平面B1DF.
故答案為:a或2a.

點評 本題主要考查了用空間向量為工具解決立體幾何問題,此類題關鍵是找清楚線的方向向量、面的法向量以及這些向量內積為0、共線等與立體幾何中線面、面面位置關系的對應,考查了空間想象能力和推理論證能力,屬于中檔題.

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