Question

已知拋物線C：y²=2px，F(xiàn)為C的焦點，F(xiàn)到準線距離為2，直線l過焦點F且與拋物線交于A、B兩點．
（1）求

OA

•

OB

的值．
（2）若

FA

=λ

BF

，求△ABO面積S的最小值．
（3）在（2）條件下，若S≤

5

，求λ的范圍．

Answer 1

分析：（1）利用p的意義即可求出，設(shè)出直線的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系及向量的數(shù)量積即可求出；
（2）利用

FA

=λ

BF

，y12=4x1，y22=4x2，三角形的面積公式及基本不等式的性質(zhì)即可得出；
（3）利用（2）的結(jié)論解出即可．

解答：解：（1）∵焦點F到準線距離為2，∴p=2，∴拋物線C的方程為y²=4x，F(xiàn)（1，0）．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
設(shè)直線l的方程為my=x-1，聯(lián)立

my=x-1 y2=4x

消去x得到y(tǒng)²-4my-4=0，∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4．
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=（my₁+1）（my₂+1）+y₁y₂=（m²+1）y₁y₂+m（y₁+y₂）+1=-4（m²+1）+4m²+1=-3；
（2）由（1）（不妨設(shè)y₁＞0，y₂＜0）及

FA

=λ

BF

可知：

x1-1=λ(1-x2) y1=-λy2

，λ＞0，而y12=4x1，y22=4x2，∴y22=

4

λ

．
S_△ABO=

1

2

×1×y1+

1

2

×1×(-y2)=

-(λ+1)

2

y2，
∴S2=

(λ+1)2

4

y22=

(λ+1)2

λ

=λ+

1

λ

+2≥2

λ× 1 λ

+2=4，當且僅當λ=1取等號，即S_min=2．
（3）由（2）可知：S=

λ+ 1 λ +2

，
∴

λ+ 1 λ +2

≤

5

，解得

3- 5

2

≤λ≤

3+ 5

2

．

點評：熟練掌握拋物線定義p的意義、過焦點的直線與拋物線的相交問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、向量的數(shù)量積、三角形的面積公式及基本不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．