Question

6．已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩點(diǎn)P₁（$\frac{r}{2}$，0），P₂（2r，0）的距離之比為$\frac{1}{2}$，r＞0．
（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡Γ的方程；
（2）已知菱形ABCD的一個(gè)內(nèi)角為60°，頂點(diǎn)A，B在直線l：y=2x+3上，頂點(diǎn)C，D在Γ上，當(dāng)直線l與Γ無(wú)公共點(diǎn)時(shí)，求菱形ABCD的面積S的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用直接法，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡Γ的方程；
（2）求出0＜r＜$\frac{3}{\sqrt{5}}$，可得得0＜b＜3，求出a的范圍，即可求菱形ABCD的面積S的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)M（x，y），則
∵動(dòng)點(diǎn)M與兩點(diǎn)P₁（$\frac{r}{2}$，0），P₂（2r，0）的距離之比為$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{（x-\frac{r}{2}）^{2}+{y}^{2}}}{\sqrt{（x-2r）^{2}+{y}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，
化簡(jiǎn)可得x²+y²=r²；
（2）∵直線l與Γ無(wú)公共點(diǎn)，∴圓心到直線的距離$\frac{3}{\sqrt{5}}$＞r，∴0＜r＜$\frac{3}{\sqrt{5}}$
設(shè)AB=a，直線CD的方程為y=2x+b，則圓心到直線的距離為d=$\frac{|b|}{\sqrt{5}}$＜r，
∴0＜b＜3，
∵$\frac{|b-3|}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，∴b=3-$\frac{\sqrt{15}}{2}$a，
∴0＜a＜$\frac{6}{\sqrt{15}}$，
∴菱形ABCD的面積S=2$•\frac{\sqrt{3}}{4}•{a}^{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^{2}$∈（0，$\frac{6\sqrt{3}}{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直接法求軌跡方程和直線與圓位置關(guān)系的運(yùn)用，考查直線方程，屬于中檔題．