Question

已知是實(shí)數(shù)，函數(shù)，和，分別是的導(dǎo)函數(shù)，若在區(qū)間上恒成立，則稱(chēng)和在區(qū)間上單調(diào)性一致．

（Ⅰ）設(shè)，若函數(shù)和在區(qū)間上單調(diào)性一致，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）設(shè)且，若函數(shù)和在以為端點(diǎn)的開(kāi)區(qū)間上單調(diào)性一致，求的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由不等式恒成立，即可求出結(jié)果. （Ⅱ）在以為端點(diǎn)的開(kāi)區(qū)間上恒成立，對(duì)的大小分類(lèi)討論，以確定的取值范圍，從而去確定的最大值.

試題解析：由已知，，，；

（Ⅰ）由題設(shè)“單調(diào)性一致”定義知，在區(qū)間上恒成立，

即 在區(qū)間上恒成立，

因，所以，所以，在區(qū)間上恒成立，

即在區(qū)間上恒成立，而在上最大值

所以，，即；

（Ⅱ）由“單調(diào)性一致”定義知，在以為端點(diǎn)的開(kāi)區(qū)間上恒成立，

即在以為端點(diǎn)的開(kāi)區(qū)間上恒成立，

因，所以，由，得，，；

①若，則開(kāi)區(qū)間為，取，由知，和在區(qū)間上單調(diào)性不一致，不符合題設(shè)；

②若，因均為非負(fù)，故不在以為端點(diǎn)的開(kāi)區(qū)間內(nèi)；所以，只有可能在區(qū)間上；

由在以為端點(diǎn)的區(qū)間上恒成立，知要么不小于中的大者，要么不大于中的小者；

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013100101002753775733/SYS201310010101110769622995_DA.files/image004.png">都不大于0，所以，，所以，由知，所以；

當(dāng)時(shí)，由在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，知最大值為，而由解得；

此時(shí)，，配方后知，取不到最大值；

當(dāng)時(shí)，顯然，此時(shí)，當(dāng)，即時(shí)，取得最大值；

綜上，的最大值為.

考點(diǎn)：不等式恒成立、函數(shù)的最值、分類(lèi)討論的思想.