Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）和圓O：x²+y²=b²．
（1）若橢圓上存在一點P，過點P引圓O的兩條切線，切點分別為A，B，使∠APB=90°，求橢圓的離心率e的取值范圍；
（2）當(dāng)橢圓的離心率e取第（1）問中的最小值，且橢圓的一條準(zhǔn)線方程為x=2時，作一直線l與圓O相切，且交橢圓于M，N兩點，A₁，A₂是x軸上關(guān)于原點對稱的兩點，B₁，B₂是y軸上關(guān)于原點對稱的兩點，若

A1M

•

A2M

+

B1N

•

B2N

=0，求|A₁B₁|的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）連結(jié)OP，OA，則|OP|=2|OA|=

2

b，設(shè)P（x₀，y₀），x02=

a2b2

a2-b2

，由0≤x02=

a2b2

a2-b2

≤a2，能求出橢圓的離心率e的取值范圍．
（2）由e=

c

a

=

2

2

，

a2

c

=2，得橢圓方程為

x2

2

+y2=1，圓O的方程為：x²+y²=1，設(shè)點A₁，A₂的坐標(biāo)分別為（m，0），（-m，0），B₁，B₂的坐標(biāo)分別為（0，n），（0，-n），M，N的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），代入

A1M

•

A2M

+

B1N

•

B2N

=0，得x12+x22+y12+y22=m2+n2，由此能求出|A₁B₁|的取值范圍．

解答： 解：（1）連結(jié)OP，OA，則∠OPA=45°，
∴|OP|=2|OA|=

2

b，
設(shè)P（x₀，y₀），由x0 2+y02=2b2和

x02

a2

+

y02

b2

=1聯(lián)立，得：x02=

a2b2

a2-b2

，
由0≤x02=

a2b2

a2-b2

≤a2，得a²≥4b²，
∴

2

2

≤e＜1．
∴橢圓的離心率e的取值范圍[

2

2

，1）．
（2）由e=

c

a

=

2

2

，

a2

c

=2，得a=

2

，c=1，b=1，
∴橢圓方程為

x2

2

+y2=1，
圓O的方程為：x²+y²=1，
設(shè)點A₁，A₂的坐標(biāo)分別為（m，0），（-m，0），
B₁，B₂的坐標(biāo)分別為（0，n），（0，-n），
M，N的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
代入

A1M

•

A2M

+

B1N

•

B2N

=0，
代簡，得x12+x22+y12+y22=m2+n2，
又∵點M，N在橢圓上，∴y12+y22=1-

x12

2

+1-

x22

2

，
代入上式，得2+

1

2

(x12+x22)=m2+n2，
而|A1B1|2=m2+n2，
①當(dāng)直線l的斜率不存在時，x12+x22=1+1=2，則m²+n²=3．
②法直線l的斜率存在時，設(shè)直線方程為y=kx+t，
由題意知k≠0，∵直線與圓相切，∴t²=1+k²，
聯(lián)立直線與橢圓方程

y=kx+t x2+2y2=2

，
得（1+2k²）x²+4ktx+2t²-2=0，
x1+x2=-

4kt

1+2k2

，x1x2=

2t2-2

1+2k2

，
∴m2+n2=3+

2k2-1

4k4+4k2+1

，
當(dāng)k2=

1

2

時，m²+n²=3，
當(dāng)k2≠

1

2

時，2k²-1∈（-1，0）∪（0，+∞），
令μ=2k²-1，則m2+n2=3+

2k2-1

4k4+4k2+1

=3+

1

μ+ 4 μ +4

∈（2，3）∪（3，

25

8

）．
綜上，得|A1B1|2∈(2，

25

8

]，
即|A₁B₁|∈（

2

，

5 2

4

]．

點評：本題考查橢圓的離心率的取值范圍的求法，考查線段取值范圍的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的靈活運用．