Question

已知下列命題：
①設(shè)m為直線，α，β為平面，且m⊥β，則“m∥α”是“α⊥β”的充要條件；
②（x³+

1

x

）⁵的展開式中含x³的項(xiàng)的系數(shù)為60；
③設(shè)隨機(jī)變量ξ～N（0，1），若P（ξ≥2）=p，則P（-2＜ξ＜0）=

1

2

-p；
④若不等式|x+3|+|x-2|≥2m+1恒成立，則m的取值范圍是（-∞，2）；
⑤已知奇函數(shù)f（x）滿足f（x+π）=-f（x），且0＜x＜

π

2

時(shí)f（x）=x，則函數(shù)g（x）=f（x）-sinx在[-2π，2π]上有5個(gè)零點(diǎn)．
其中真命題的序號(hào)是

 

（寫出全部真命題的序號(hào)）．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：①由m⊥β，則“m∥α”可得“α⊥β”，反過來，“α⊥β”可得“m∥α”或“m?α”，；
②利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式寫出展開式的通項(xiàng)，令x的指數(shù)為3，寫出展開式中x³的系數(shù)，得到結(jié)果；
③設(shè)隨機(jī)變量ξ～N（0，1），曲線關(guān)于x=0對(duì)稱，若P（ξ≥2）=p，則P（-2＜ξ＜0）=

1

2

-p；
④|x+3|+|x-2|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-3和2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，它的最小值等于5，由|x+3|+|x-2|≥2m+1恒成立，可求m的取值范圍；
⑤奇函數(shù)f（x）滿足f（x+π）=-f（x），可得函數(shù)f（x）圖象關(guān)于x=

π

2

對(duì)稱，由0＜x＜

π

2

時(shí)，f（x）=x，則函數(shù)g（x）=f（x）-sinx，因?yàn)閤取不到0，

π

2

，所以共有0個(gè)零點(diǎn)．

解答： 解：①設(shè)m為直線，α，β為平面，且m⊥β，則“m∥α”可得“α⊥β”，反過來，“α⊥β”可得“m∥α”或“m?α”，故不正確；
②（x³+

1

x

）⁵的展開式的通項(xiàng)為T_r+1=C₅^rx^15-4r，∴含x³的項(xiàng)的系數(shù)為C₅³=10，故不正確；
③設(shè)隨機(jī)變量ξ～N（0，1），曲線關(guān)于x=0對(duì)稱，若P（ξ≥2）=p，則P（-2＜ξ＜0）=

1

2

-p，正確；
④|x+3|+|x-2|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-3和2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，它的最小值等于5，由|x+3|+|x-2|≥2m+1恒成立，知2m+1≤5，則m的取值范圍是（-∞，2]，不正確；
⑤奇函數(shù)f（x）滿足f（x+π）=-f（x），可得函數(shù)f（x）圖象關(guān)于x=

π

2

對(duì)稱，周期為2π，由0＜x＜

π

2

時(shí)，f（x）=x，則函數(shù)g（x）=f（x）-sinx，因?yàn)閤取不到0，

π

2

，所以共有0個(gè)零點(diǎn)，不正確．
故答案為：③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷，考查函數(shù)的性質(zhì)，考查不等式知識(shí)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．