已知bn=（1+1）（1+
1
2
）（1+
1
22
）…（1+
1
2n
），cn=6（1-
1
2n
）．用數(shù)學歸納法證明：對任意n∈N*，bn≤cn．
分析：先證明n=1時，結(jié)論成立，再證明當n=k+1時，結(jié)論成立，此時要利用歸納假設(shè)．
解答：證明：（1）當n=1時，b1=（1+1）（1+
1
2
）=3，c1=6（1-
1
2
）=3，所以b1≤c1成立．
（2）設(shè)當n=k時，有bk≤ck成立，即(1+1)(1+
1
2
)(1+
1
22
)…(1+
1
2k
)≤6(1-
1
2k
)
當n=k+1時，(1+1)(1+
1
2
)(1+
1
22
)…(1+
1
2k
)(1+
1
2k+1
)≤6(1-
1
2k
)(1+
1
2k+1
)
=6(1+
1
2k+1
-
1
2k
-
1
22k+1
)=6(1-
1
2k+1
-
1
22k+1
)＜6(1-
1
2k+1
)
即當n=k+1時，不等式也成立，
綜合（1）（2）可知原不等式成立．
點評：本題考查數(shù)學歸納法的運用，考查不等式的證明，正確運用數(shù)學歸納法的證題步驟是關(guān)鍵．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列an和bn滿足：a1=λ，an+1=
23
an+n-4，bn=（-1）n（an-3n+21），其中λ為實數(shù)，n為正整數(shù)．
（1）試判斷數(shù)列an是否可能為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；
（2）求數(shù)列bn的通項公式；
（3）設(shè)a＞0，Sn為數(shù)列bn的前n項和，如果對于任意正整數(shù)n，總存在實數(shù)λ，使得不等式a＜Sn＜a+1成立，求正數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f(x)=
x
3x+1
，且滿足：a1=1，an+1=f(an)．
（1）求證：
{
1
an
}是等差數(shù)列

（2）{bn}的前n項和Sn=2n-1，若Tn=
b1
a1
+
b2
a2
+…
bn
an
，求Tn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知bn=（1+1）（1+數(shù)學公式）（1+數(shù)學公式）…（1+數(shù)學公式），cn=6（1-數(shù)學公式）．用數(shù)學歸納法證明：對任意n∈N*，bn≤cn．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知bn=（1+1）（1+
1
2
）（1+
1
22
）…（1+
1
2n
），cn=6（1-
1
2n
）．用數(shù)學歸納法證明：對任意n∈N*，bn≤cn．

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